Найти точки разрыва функции, доопределить функцию по непрерывности в точках устранимого разрыва

Предмет: Математика (Вышка)

Раздел: Математический анализ - Исследование функций

Требуется найти точки разрыва функции \( f(x) = \frac{x}{\cos x} \), определить тип разрыва в этих точках, и доопределить функцию по непрерывности в точках устранимого разрыва или найти скачки в точках разрыва I рода.

1. Область определения функции

Функция \( f(x) = \frac{x}{\cos x} \) будет определена в тех точках, где знаменатель не равен нулю, то есть: \[\cos x \neq 0\] Знаем, что \( \cos x = 0 \) в точках \( x = \frac{\pi}{2} + k\pi \), где \( k \) — целое число. Таким образом, \( f(x) \) имеет разрывы в точках \( x = \frac{\pi}{2} + k\pi \).

2. Исследование типа разрыва

Для того чтобы определить тип разрыва, нужно исследовать поведение функции в окрестности точек разрыва. Рассмотрим поведение функции в окрестности точки разрыва \( x = \frac{\pi}{2} \).

2.1 Предел слева и справа от точки разрыва

Пусть \( x \) стремится к \( \frac{\pi}{2} \) слева: \[\lim_{x \to \frac{\pi}{2}^-} \frac{x}{\cos x}\] При \( x \to \frac{\pi}{2}^- \), \( \cos x \to 0^- \) (становится отрицательным). Следовательно: \[\frac{x}{\cos x} \to -\infty\] Теперь предел справа: \[\lim_{x \to \frac{\pi}{2}^+} \frac{x}{\cos x}\] При \( x \to \frac{\pi}{2}^+ \), \( \cos x \to 0^+ \) (становится положительным). Следовательно: \[\frac{x}{\cos x} \to +\infty\]

2.2 Скачок функции

Левый предел и правый предел не равны (направлены к разным бесконечностям), это означает, что в точке \( x = \frac{\pi}{2} \) и вообще в точках \( x = \frac{\pi}{2} + k\pi \) (где \( k \) — целое число) имеет место разрыв I рода (скачок).

3. Устранимые разрывы

Устранимыми разрывами называют разрывы, где предел функции слева и справа равны, что не наш случай.

4. Заключение

Функция \( f(x) = \frac{x}{\cos x} \) имеет разрывы I рода в точках \( x = \frac{\pi}{2} + k\pi \), \( k \in \mathbb{Z} \), и в этих точках наблюдаются скачки функции. Таким образом, доопределить функцию по непрерывности не требуется, потому что разрывы здесь не устранимые, а скачкообразные.