Найти точки разрыва функции, доопределить функцию по непрерывности в точках устранимого разрыва

Предмет: Математика (Вышка)

Раздел: Математический анализ - Исследование функций

Требуется найти точки разрыва функции $\text{(}f(x)=\frac{x}{\cos x}\text{)}$, определить тип разрыва в этих точках, и доопределить функцию по непрерывности в точках устранимого разрыва или найти скачки в точках разрыва I рода.

1. Область определения функции

Функция $\text{(}f(x)=\frac{x}{\cos x}\text{)}$ будет определена в тех точках, где знаменатель не равен нулю, то есть: $\text{[}\cos x\ne 0\text{]}$ Знаем, что $\text{(}\cos x=0\text{)}$ в точках $\text{(}x=\frac{\pi }{2}+k\pi \text{)}$, где $\text{(}k\text{)}$ — целое число. Таким образом, $\text{(}f(x)\text{)}$ имеет разрывы в точках $\text{(}x=\frac{\pi }{2}+k\pi \text{)}$.

2. Исследование типа разрыва

Для того чтобы определить тип разрыва, нужно исследовать поведение функции в окрестности точек разрыва. Рассмотрим поведение функции в окрестности точки разрыва $\text{(}x=\frac{\pi }{2}\text{)}$.

2.1 Предел слева и справа от точки разрыва

Пусть $\text{(}x\text{)}$ стремится к $\text{(}\frac{\pi }{2}\text{)}$ слева: $\text{[}\underset{x\to {\frac{\pi }{2}}^{-}}{lim}\frac{x}{\cos x}\text{]}$ При $\text{(}x\to {\frac{\pi }{2}}^{-}\text{)}$, $\text{(}\cos x\to 0^{-}\text{)}$ (становится отрицательным). Следовательно: $\text{[}\frac{x}{\cos x}\to -\mathrm{\infty }\text{]}$ Теперь предел справа: $\text{[}\underset{x\to {\frac{\pi }{2}}^{+}}{lim}\frac{x}{\cos x}\text{]}$ При $\text{(}x\to {\frac{\pi }{2}}^{+}\text{)}$, $\text{(}\cos x\to 0^{+}\text{)}$ (становится положительным). Следовательно: $\text{[}\frac{x}{\cos x}\to +\mathrm{\infty }\text{]}$

2.2 Скачок функции

Левый предел и правый предел не равны (направлены к разным бесконечностям), это означает, что в точке $\text{(}x=\frac{\pi }{2}\text{)}$ и вообще в точках $\text{(}x=\frac{\pi }{2}+k\pi \text{)}$ (где $\text{(}k\text{)}$ — целое число) имеет место разрыв I рода (скачок).

3. Устранимые разрывы

Устранимыми разрывами называют разрывы, где предел функции слева и справа равны, что не наш случай.

4. Заключение

Функция $\text{(}f(x)=\frac{x}{\cos x}\text{)}$ имеет разрывы I рода в точках $\text{(}x=\frac{\pi }{2}+k\pi \text{)}$, $\text{(}k\in \mathbb{Z}\text{)}$, и в этих точках наблюдаются скачки функции. Таким образом, доопределить функцию по непрерывности не требуется, потому что разрывы здесь не устранимые, а скачкообразные.