Найти точки разрыва функции и установить их род

Предмет: Математика (Раздел: Математический анализ, тема: Непрерывность функций и точки разрыва).

Задача: Найти точки разрыва функции и установить их род. Дана функция: \[ f(x) = \frac{1}{\frac{x}{1 - e^{1-x}}} \]

Решение задачи:

1. Поиск областей, где функция не определена:
   Начнем с того, что функция имеет вид дроби. Для исследования точек разрыва нужно рассмотреть знаменатель, так как функция может быть неопределена, если знаменатель обращается в ноль. Рассмотрим выражение на знаменателе:
   \[ 1 - e^{1-x} \]
   Функция может быть не определена, если: \[ 1 - e^{1-x} = 0 \]
   Решим это для \(x\): \[ e^{1-x} = 1 \]
   Применяем логарифмирование для обоих частей уравнения: \[ 1 - x = \ln(1) = 0 \]
   \[ x = 1 \]
   Следовательно, функция не определена в точке \(x = 1\), так как в этой точке знаменатель обращается в ноль.
2. Проверка асимптотического поведения и типа точки разрыва:
   Теперь нужно исследовать поведение функции вблизи точки разрыва \(x = 1\), чтобы классифицировать точку разрыва.
   Пусть \( x \to 1^- \) (слева от точки 1). Рассмотрим знаменатель: \[ 1 - e^{1-(1^-)} = 1 - e^0 = 1 - 1 = 0 \]
   Знаменатель стремится к нулю, и, соответственно, функция будет стремиться к бесконечности (разрыв второго рода).
   Теперь возьмем \( x \to 1^+ \) (справа от точки 1). Аналогично: \[ 1 - e^{1-(1^+)} = 1 - e^0 = 1 - 1 = 0 \]
   Снова стремление к нулю в знаменателе, и функция также будет стремиться к бесконечности с правой стороны.
   Следовательно, функция испытывает разрыв второго рода в точке \( x = 1 \).

Ответ:

Функция \( f(x) \) имеет точку разрыва \( x = 1 \), и это разрыв второго рода.