Найти точки разрыва функции и определить их вид в точках

Предмет: Математика
Раздел: Математический анализ (исследование функций, точки разрыва)

Функция задана как:

y = \frac{1}{1 - 3^x}.

Необходимо найти точки разрыва функции и определить их вид в точках x = -1 и x = 0.

1. Определение области определения функции

Функция y = \frac{1}{1 - 3^x} определена, если знаменатель не равен нулю, то есть:

1 - 3^x \neq 0
3^x \neq 1
x \neq 0 (так как 3^0 = 1).

Таким образом, функция не определена в точке x = 0. Это потенциальная точка разрыва.

2. Исследование точки x = -1

Подставим x = -1 в функцию:

y = \frac{1}{1 - 3^{-1}} = \frac{1}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{1}{\frac{2}{3}} = \frac{3}{2}.

Функция определена в точке x = -1, разрыва здесь нет.

3. Исследование точки x = 0

Точка x = 0 исключена из области определения, так как знаменатель обращается в ноль. Проверим поведение функции около этой точки:

• При x \to 0^+ (то есть x стремится к нулю справа):

y = \frac{1}{1 - 3^x} \to \frac{1}{1 - 1} \to +\infty.

• При x \to 0^− (то есть x стремится к нулю слева):

y = \frac{1}{1 - 3^x} \to \frac{1}{1 - 1} \to +\infty.

Значения функции стремятся к бесконечности с обеих сторон. Это говорит о том, что в точке x = 0 имеет место разрыв первого рода (полюс).

Ответ:

1. В точке x = -1 функция определена, разрыва нет.
2. В точке x = 0 функция имеет разрыв первого рода (полюс).