Найти точки экстремума функции двух независимых переменных

Предмет: Математика
Раздел: Математический анализ, функции нескольких переменных

Найдем точки экстремума функции двух переменных z = f(x, y), где z = 3x^2 - 8xy - 12x + 4y^2.

Для этого выполним следующие шаги:

1. Найдем первые частные производные функции по x и y.
2. Найдем стационарные точки, приравняв первые производные к нулю.
3. Используем критерий второго порядка (матрицу Гессе) для проверки условий экстремума.

Шаг 1: Найдем первые частные производные

Частная производная по x:  \frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(3x^2 - 8xy - 12x + 4y^2) = 6x - 8y - 12. 

Частная производная по y:  \frac{\partial z}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(3x^2 - 8xy - 12x + 4y^2) = -8x + 8y. 

Шаг 2: Найдем стационарные точки

Стационарные точки находятся из системы уравнений:  \frac{\partial z}{\partial x} = 0 \quad \text{и} \quad \frac{\partial z}{\partial y} = 0. 

Подставим частные производные:  \begin{cases} 6x - 8y - 12 = 0, \ -8x + 8y = 0. \end{cases} 

Упростим второе уравнение:  -8x + 8y = 0 \implies y = x. 

Подставим y = x в первое уравнение:  6x - 8x - 12 = 0 \implies -2x - 12 = 0 \implies x = -6. 

Тогда y = x = -6.

Стационарная точка: (x, y) = (-6, -6).

Шаг 3: Исследуем точку на экстремум

Для анализа используем матрицу Гессе. Найдем вторые частные производные функции:
 \frac{\partial^2 z}{\partial x^2} = \frac{\partial}{\partial x}(6x - 8y - 12) = 6,   \frac{\partial^2 z}{\partial y^2} = \frac{\partial}{\partial y}(-8x + 8y) = 8,   \frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(6x - 8y - 12) = -8. 

Матрица Гессе:  H = \begin{pmatrix} \frac{\partial^2 z}{\partial x^2} & \frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} \ \frac{\partial^2 z}{\partial y \partial x} & \frac{\partial^2 z}{\partial y^2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 & -8 \ -8 & 8 \end{pmatrix}. 

Вычислим определитель матрицы Гессе:  |H| = \det(H) = (6)(8) - (-8)(-8) = 48 - 64 = -16. 

Так как определитель отрицательный (|H| < 0), точка (-6, -6) является седловой точкой.

Ответ:

Точка (-6, -6) является седловой точкой функции. Экстремумов нет.