Найти такое ( n ), начиная с которого выполняется неравенство

Условие:

Начиная с какого n |an-a|<0,01 an=(2n-3)/(4n+5) a=1/2

Решение:

Это задание относится к предмету математический анализ, раздел "Числовые последовательности и их пределы".

Рассмотрим последовательность \( a_n = \frac{2n - 3}{4n + 5} \) и её предел \( a = \frac{1}{2} \). Необходимо найти такое \( n \), начиная с которого выполняется неравенство \( |a_n - a| < 0,01 \).

Преобразуем неравенство: \(|a_n - a| < 0,01 \)

Так как \( a = \frac{1}{2} \), подставляем его в неравенство: \[\left|\frac{2n - 3}{4n + 5} - \frac{1}{2}\right| < 0,01 \]

Упростим выражение под знаком модуля: \[\frac{2n - 3}{4n + 5} - \frac{1}{2} = \frac{2(2n - 3) - (4n + 5)}{2(4n + 5)} = \frac{4n - 6 - 4n - 5}{2(4n + 5)} = \frac{-11}{2(4n + 5)} \]

Теперь у нас есть: \[\left|\frac{-11}{2(4n + 5)}\right| < 0,01 \]

\[\frac{11}{2(4n + 5)} < 0,01 \]

Допустим неравенство на деление на положительное число: \[\frac{11}{2(4n + 5)} < 0,01 \]

Умножаем обе части на \(2(4n + 5)\): \[ 11 < 0,01 \times 2(4n + 5) \]

\[ 11 < 0,02(4n + 5) \]

\[ 11 < 0,08n + 0,1 \]

Теперь решим относительно \( n \): \[ 11 - 0,1 < 0,08n \]

\[ 10,9 < 0,08n \]

\[ n > \frac{10,9}{0,08} \]

\[ n > 136,25 \]

Таким образом, минимальное значение \( n \), начиная с которого выполняется неравенство \( |a_n - a| < 0,01 \), это \( n = 137 \).

Ответ: Начиная с \( n = 137 \), \( |a_n - a| < 0,01 \).

Не нашли нужного вам решения? Оставьте заявку и наши авторы быстро и качественно помогут вам с решением.
Оставить заявку
Работа вам нужна срочно. Не волнуйтесь, уложимся!

Заполните, пожалуйста, данные для автора:

  • 22423 авторов готовы помочь тебе.
  • 2402 онлайн