Работа вам нужна срочно. Не волнуйтесь, уложимся!
Заполните, пожалуйста, данные для автора:
- 22423 авторов готовы помочь тебе.
- 2402 онлайн
Задано суммирование ряда: \[ \sum_{n=1}^\infty \frac{4n+1}{8^n}. \] Наша задача — найти сумму этого ряда.
Общий член ряда: \[ a_n = \frac{4n + 1}{8^n}. \] Разделим это выражение на два слагаемых: \[ a_n = \frac{4n}{8^n} + \frac{1}{8^n}. \]
Теперь ряд можно разделить на два ряда: \[ \sum_{n=1}^\infty a_n = \sum_{n=1}^\infty \frac{4n}{8^n} + \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{8^n}. \]
Рассмотрим второй ряд: \[ \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{8^n}. \] Этот ряд геометрический с первым членом \( a = \frac{1}{8} \) и знаменателем \( q = \frac{1}{8} \).
Из формулы для суммы бесконечной геометрической прогрессии: \[ S = \frac{a}{1-q}, \] где \( |q| < 1 \).
Подставим значения: \[ S = \frac{\frac{1}{8}}{1 - \frac{1}{8}} = \frac{\frac{1}{8}}{\frac{7}{8}} = \frac{1}{7}. \]
Итак: \[ \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{8^n} = \frac{1}{7}. \]
Теперь разберёмся с первым рядом: \[ \sum_{n=1}^\infty \frac{4n}{8^n}. \] Вынесем константу 4 за знак суммы: \[ \sum_{n=1}^\infty \frac{4n}{8^n} = 4 \sum_{n=1}^\infty \frac{n}{8^n}. \]
Теперь нужно найти значение ряда \(\sum_{n=1}^\infty \frac{n}{8^n}\). Для этого воспользуемся известной формулой: \[ \sum_{n=1}^\infty \frac{n}{k^n} = \frac{k}{(k-1)^2}, \quad \text{где } |k| > 1. \]
В нашем случае \( k = 8 \). Подставляем: \[ \sum_{n=1}^\infty \frac{n}{8^n} = \frac{8}{(8-1)^2} = \frac{8}{7^2} = \frac{8}{49}. \]
Таким образом, первый ряд суммируется как: \[ \sum_{n=1}^\infty \frac{4n}{8^n} = 4 \cdot \frac{8}{49} = \frac{32}{49}. \]
Теперь складываем результаты двух рядов: \[ \sum_{n=1}^\infty a_n = \sum_{n=1}^\infty \frac{4n}{8^n} + \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{8^n}. \]
Подставим найденные суммы: \[ \sum_{n=1}^\infty a_n = \frac{32}{49} + \frac{1}{7}. \]
Приведём к общему знаменателю: \[ \frac{1}{7} = \frac{7}{49}, \quad \text{поэтому: } \frac{32}{49} + \frac{7}{49} = \frac{39}{49}. \]
Сумма ряда равна: \[ \boxed{\frac{39}{49}} \]