Найти сумму координат точки локального экстремума

Данное задание относится к предмету "математика", разделу "математический анализ", а конкретно к теме нахождения экстремумов функции многих переменных.

Для нахождения точки локального экстремума функции \( z = x^2 - xy + 6y^2 - 2y \) необходимо найти частные производные функции по переменным \( x \) и \( y \) и приравнять их к нулю, чтобы определить критические точки.

1. Найдём частные производные функции по \( x \) и \( y \):
   • \[\frac{\partial z}{\partial x} = 2x - y\]
   • \[\frac{\partial z}{\partial y} = -x + 12y - 2\]
2. Приравняем частные производные к нулю:
   • \[2x - y = 0 \quad (1)\]
   • \[-x + 12y - 2 = 0 \quad (2)\]
3. Решим полученную систему уравнений.
   • Из первого уравнения (1): \[y = 2x\]
   • Подставим \( y \) во второе уравнение (2):
     • \[-x + 12(2x) - 2 = 0\]
     • \[-x + 24x - 2 = 0\]
     • \[23x - 2 = 0\]
     • \[x = \frac{2}{23}\]
   • Подставим значение \( x \) в выражение для \( y \):
     • \[y = 2 \left(\frac{2}{23}\right) = \frac{4}{23}\]
   • Таким образом, координаты критической точки равны \( \left(\frac{2}{23}, \frac{4}{23}\right) \).
4. Найдём сумму координат: \[\frac{2}{23} + \frac{4}{23} = \frac{6}{23}\]

Ответ: Сумма координат точки локального экстремума равна \( \frac{6}{23} \).