Найти сумму бесконечного ряда

Предмет: Математика

Раздел: Ряды

Нам нужно найти сумму бесконечного ряда:
\sum_{n=1}^\infty \frac{5(-1)^{n+1}}{4^n}.

Решение:

1. Запишем общий член ряда: Общий член ряда имеет вид:
   a_n = \frac{5(-1)^{n+1}}{4^n}.

2. Вынесем постоянный множитель из суммы: Вынесем коэффициент 5 за знак суммы:
   \sum_{n=1}^\infty \frac{5(-1)^{n+1}}{4^n} = 5 \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{4^n}.

3. Обозначим оставшуюся сумму: Рассмотрим сумму:
   S = \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{4^n}.

   Это знакочередующийся геометрический ряд с первым членом
   a_1 = \frac{1}{4}
   и знаменателем прогрессии
   q = -\frac{1}{4}.

4. Формула суммы бесконечного геометрического ряда: Для геометрического ряда с |q| < 1 сумма выражается формулой:
   S = \frac{a_1}{1-q}.

   Подставим значения:
   S = \frac{\frac{1}{4}}{1 - \left(-\frac{1}{4}\right)} = \frac{\frac{1}{4}}{1 + \frac{1}{4}} = \frac{\frac{1}{4}}{\frac{5}{4}} = \frac{1}{5}.

5. Возвращаемся к исходному ряду: Теперь вернемся к исходной сумме:
   \sum_{n=1}^\infty \frac{5(-1)^{n+1}}{4^n} = 5 \cdot S = 5 \cdot \frac{1}{5} = 1.

Ответ:

Сумма ряда равна:
1.