Найти смешанную частную производную функции sin(x2^y) второго порядка

Предмет: Математика

Раздел: Математический анализ, Частные производные

Давайте найдем смешанную частную производную второго порядка функции \( f(x, y) = \sin(x \cdot 2^y) \). Смешанная частная производная второго порядка обозначается \( \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} \).

Шаг 1:

Сначала найдем первую производную функции \( f(x, y) \) по \( x \). Вспоминаем, что производная синуса \( \sin(u) \) равна \( \cos(u) \), а также применяем правило цепочки:

\[ u = x \cdot 2^y \quad \text{и производная } u \text{ по } x \text{ равна } 2^y \]

Итак, частная производная функции по \( x \): \[ \frac{\partial f}{\partial x} = \cos(x \cdot 2^y) \cdot 2^y \]

Шаг 2:

Теперь найдем частную производную данной функции по \( y \) от результата, полученного на шаге 1. Опять же, применим правило цепочки и будем учитывать производную от \( 2^y \) по \( y \):

Давайте найдем производную от \( 2^y \). \[ \frac{d(2^y)}{dy} = 2^y \ln(2) \]

Теперь приходим непосредственно к дифференцированию: \[ \frac{\partial}{\partial y} \left( \cos(x \cdot 2^y) \cdot 2^y \right) \]

Применим правило произведения: \[ \frac{\partial}{\partial y} \left( \cos(x \cdot 2^y) \cdot 2^y \right) = \frac{\partial \cos(x \cdot 2^y)}{\partial y} \cdot 2^y + \cos(x \cdot 2^y) \cdot \frac{\partial 2^y}{\partial y} \]

Для первой части нам нужно взять производную от \( \cos(x \cdot 2^y) \) по \( y \), учитывая правило цепочки и дифференцируя внутри \( x \cdot 2^y \) по \( y \): \[ \frac{\partial \cos(x \cdot 2^y)}{\partial y} = -\sin(x \cdot 2^y) \cdot \frac{d(x \cdot 2^y)}{dy} = -\sin(x \cdot 2^y) \cdot x \cdot 2^y \ln(2) \]

Применим теперь производную: \[ \frac{\partial}{\partial y} \left( \cos(x \cdot 2^y) \cdot 2^y \right) = -\sin(x \cdot 2^y) \cdot x \cdot 2^y \ln(2) \cdot 2^y + \cos(x \cdot 2^y) \cdot 2^y \ln(2) \]

Простим её: \[ \cos(x \cdot 2^y) \cdot 2^y \ln(2) - \sin(x \cdot 2^y) \cdot x \cdot (2^y)^2 \ln(2) = 2^y \ln(2) (\cos(x \cdot 2^y) - x 2^y \sin(x \cdot 2^y)) \]

Итак, в заключение мы имеем: \[ \frac{\partial^2}{\partial y \partial x} f(x,y) = 2^y \ln(2) (\cos(x \cdot 2^y) - x 2^y \sin(x \cdot 2^y)) \] Это и есть искомая смешанная частная производная второго порядка.