Найти смешанное произведение трех векторов

Предмет: Математика
Раздел: Линейная алгебра, операции с векторами

Задание: Найти смешанное произведение трех векторов \(\mathbf{a} = (2, 3, 4)\), \(\mathbf{b} = (1, -1, 0)\), \(\mathbf{c} = (3, 2, 4)\).

Определение смешанного произведения

Смешанное произведение трёх векторов \(\mathbf{a}\), \(\mathbf{b}\), \(\mathbf{c}\) вычисляется по формуле:

\[ [\mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c}] = \mathbf{a} \cdot (\mathbf{b} \times \mathbf{c}), \]

где:

1. \(\mathbf{b} \times \mathbf{c}\) — векторное произведение векторов \(\mathbf{b}\) и \(\mathbf{c}\).
2. \(\mathbf{a} \cdot (\mathbf{b} \times \mathbf{c})\) — скалярное произведение вектора \(\mathbf{a}\) и векторного произведения \((\mathbf{b} \times \mathbf{c})\).

Для вычислений мы используем определитель:

\[ [\mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c}] = \begin{vmatrix} a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \\ c_x & c_y & c_z \end{vmatrix}. \]

Заполнение матрицы

Подставляем координаты векторов \(\mathbf{a} = (2, 3, 4)\), \(\mathbf{b} = (1, -1, 0)\), \(\mathbf{c} = (3, 2, 4)\):

\[ \begin{vmatrix} 2 & 3 & 4 \\ 1 & -1 & 0 \\ 3 & 2 & 4 \end{vmatrix}. \]

Вычисление определителя

Используем правило Саррюса или разложение по первому ряду:

\[ \begin{vmatrix} 2 & 3 & 4 \\ 1 & -1 & 0 \\ 3 & 2 & 4 \end{vmatrix} = 2 \cdot \begin{vmatrix} -1 & 0 \\ 2 & 4 \end{vmatrix} - 3 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 3 & 4 \end{vmatrix} + 4 \cdot \begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 3 & 2 \end{vmatrix}. \]

1. Первое минорное определение: \[ \begin{vmatrix} -1 & 0 \\ 2 & 4 \end{vmatrix} = (-1)(4) - (0)(2) = -4. \]
2. Второе минорное определение: \[ \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 3 & 4 \end{vmatrix} = (1)(4) - (0)(3) = 4. \]
3. Третье минорное определение: \[ \begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 3 & 2 \end{vmatrix} = (1)(2) - (-1)(3) = 2 + 3 = 5. \]

Теперь подставляем эти значения:

\[ \begin{vmatrix} 2 & 3 & 4 \\ 1 & -1 & 0 \\ 3 & 2 & 4 \end{vmatrix} = 2(-4) - 3(4) + 4(5). \]

Окончательные вычисления

\[ 2(-4) = -8,\quad -3(4) = -12,\quad 4(5) = 20. \]

Суммируем:

\[ -8 - 12 + 20 = 0. \]

Ответ:

Смешанное произведение векторов равно:

\[ [\mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c}] = 0. \]