Найти ротор векторного поля

Мы будем решать задание по математике, а именно - из раздела векторный анализ. Необходимо найти ротор (или завихрение) векторного поля в заданной точке.

Векторное поле задано следующим образом: \[ \mathbf{F}(x, y, z) = (y^3 - 8yz - z) \mathbf{i} + (yz - x^3 + 2x) \mathbf{j} + (yx^3 - 2z^3) \mathbf{k} \]

Ротор векторного поля \(\mathbf{F}\) определяется формулой: \[ \operatorname{rot} \mathbf{F} = \nabla \times \mathbf{F} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ F_x & F_y & F_z \end{vmatrix} \] где \(F_x = y^3 - 8yz - z\), \(F_y = yz - x^3 + 2x\), и \(F_z = yx^3 - 2z^3\).

Таким образом, вычислим детерминант: \[ \operatorname{rot} \mathbf{F} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ y^3 - 8yz - z & yz - x^3 + 2x & yx^3 - 2z^3 \end{vmatrix} \]

Начнем с координаты \(\mathbf{i}\): \[ \mathbf{i} \left( \frac{\partial (yx^3 - 2z^3)}{\partial y} - \frac{\partial (yz - x^3 + 2x)}{\partial z} \right) \] \[ \frac{\partial (yx^3 - 2z^3)}{\partial y} = x^3 \] \[ \frac{\partial (yz - x^3 + 2x)}{\partial z} = y \]

Таким образом, часть с координатой \(\mathbf{i}\): \[ \mathbf{i} (x^3 - y) \]

Теперь координата \(\mathbf{j}\): \[ \mathbf{j} \left( \frac{\partial (y^3 - 8yz - z)}{\partial z} - \frac{\partial (yx^3 - 2z^3)}{\partial x} \right) \] \[ \frac{\partial (y^3 - 8yz - z)}{\partial z} = -8y - 1 \] \[ \frac{\partial (yx^3 - 2z^3)}{\partial x} = 3x^2 y \]

Таким образом, часть с координатой \(\mathbf{j}\): \[ \mathbf{j} (-8y - 1 - 3x^2 y) \]

И, наконец, координата \(\mathbf{k}\): \[ \mathbf{k} \left( \frac{\partial (yz - x^3 + 2x)}{\partial x} - \frac{\partial (y^3 - 8yz - z)}{\partial y} \right) \] \[ \frac{\partial (yz - x^3 + 2x)}{\partial x} = -3x^2 + 2 \] \[ \frac{\partial (y^3 - 8yz - z)}{\partial y} = 3y^2 - 8z \]

Таким образом, часть с координатой \(\mathbf{k}\): \[ \mathbf{k} (-3x^2 + 2 - 3y^2 + 8z) \]

Теперь суммируем все части: \[ \operatorname{rot} \mathbf{F} = (x^3 - y) \mathbf{i} + (-8y - 1 - 3x^2 y) \mathbf{j} + (-3x^2 + 2 - 3y^2 + 8z) \mathbf{k} \]

Задано вычислить ротор в точке \(M(0, 1, -1)\): \[ (x, y, z) = (0, 1, -1) \] \[ \operatorname{rot} \mathbf{F} = (0^3 - 1) \mathbf{i} + (-8\cdot1 - 1 - 3\cdot0^2 \cdot 1) \mathbf{j} + (-3\cdot0^2 + 2 - 3\cdot1^2 + 8\cdot(-1)) \mathbf{k} \] \[ = -1 \mathbf{i} - 9 \mathbf{j} - 9 \mathbf{k} \]

Следовательно, в точке \(M(0, 1, -1)\) ротор векторного поля равен: \[ \operatorname{rot} \mathbf{F} = -\mathbf{i} - 9\mathbf{j} - 9\mathbf{k} \]