Найти решение уравнения относительно переменной x

Предмет: Математика
Раздел: Математический анализ / Логарифмические уравнения

Рассмотрим уравнение, представленное на изображении:

-\frac{\ln(x)}{x^2} - \frac{2}{x} + \frac{1}{x^2} = 0

Наша цель — найти решение уравнения относительно переменной x.

Шаг 1: Приведем уравнение к общему знаменателю

Наименьший общий знаменатель — x^2. Преобразуем каждую дробь:

-\frac{\ln(x)}{x^2} - \frac{2x}{x^2} + \frac{1}{x^2} = 0

Теперь объединим все дроби:

\frac{-\ln(x) - 2x + 1}{x^2} = 0

Шаг 2: Решим числитель уравнения

Так как дробь равна нулю, то числитель должен быть равен нулю (знаменатель не может быть равен нулю, так как x \ne 0):

-\ln(x) - 2x + 1 = 0

или

\ln(x) + 2x = 1

Шаг 3: Решим уравнение численно

Уравнение \ln(x) + 2x = 1 — трансцендентное, его нельзя решить аналитически, но можно найти приближенное решение численно (например, методом Ньютона или подбором).

Попробуем подобрать значение:

• При x = 0.2:
  \ln(0.2) + 2 \cdot 0.2 \approx -1.609 + 0.4 = -1.209
• При x = 0.5:
  \ln(0.5) + 2 \cdot 0.5 \approx -0.693 + 1 = 0.307
• При x = 0.4:
  \ln(0.4) + 2 \cdot 0.4 \approx -0.916 + 0.8 = -0.116
• При x = 0.45:
  \ln(0.45) + 2 \cdot 0.45 \approx -0.798 + 0.9 = 0.102
• При x = 0.43:
  \ln(0.43) + 2 \cdot 0.43 \approx -0.843 + 0.86 = 0.017
• При x = 0.428:
  \ln(0.428) + 2 \cdot 0.428 \approx -0.849 + 0.856 \approx 0.007
• При x = 0.426:
  \ln(0.426) + 2 \cdot 0.426 \approx -0.852 + 0.852 = 0

Ответ:

x \approx 0.426

Это приближенное решение уравнения.