Найти разность между наибольшим и наименьшим значениями функции в области D, ограниченной линиями

Определение предмета и раздела:

Данная задача относится к предмету "Математика", разделу "Математический анализ" и подразделу "Исследование функций нескольких переменных и нахождение их максимальных и минимальных значений".

Шаг 1: Построение области \( D \)

1. Линия \( x = 1 \) представляет собой вертикальную прямую.
2. Линия \( y = -1 \) представляет собой горизонтальную прямую.
3. Линия \( 4x - 3y = -5 \) после преобразования \( y = \frac{4}{3}x + \frac{5}{3} \) представляет собой прямую линию с наклоном вверх.

Таким образом, область \( D \) ограничена тремя прямыми.

Шаг 2: Определение критических точек внутри области \( D \)

Для нахождения критических точек найдем частные производные функции \( z = 9x^2 + 4y^2 - 12x + 4y + 8 \) и приравняем их к нулю:

1. \( \frac{\partial z}{\partial x} = 18x - 12 = 0 \)
2. \( \frac{\partial z}{\partial y} = 8y + 4 = 0 \)

Решаем эти уравнения:

1. \( 18x - 12 = 0 \rightarrow x = \frac{2}{3} \)
2. \( 8y + 4 = 0 \rightarrow y = -\frac{1}{2} \)

Критическая точка: \( (x, y) = \left(\frac{2}{3}, -\frac{1}{2}\right) \).

Шаг 3: Проверка принадлежности критической точки области \( D \)

Проверяем, попадает ли точка \( \left(\frac{2}{3}, -\frac{1}{2}\right) \) в область \( D \):

1. \( x = \frac{2}{3} \leq 1 \) — выполняется.
2. \( y = -\frac{1}{2} \geq -1 \) — выполняется.
3. Проверяем \( 4x - 3y \): \[ 4 \left(\frac{2}{3}\right) - 3 \left(-\frac{1}{2}\right) = \frac{8}{3} + \frac{3}{2} = \frac{8}{3} + \frac{9}{6} = \frac{25}{6} \]

\( \frac{25}{6} \neq -5 \) данная точка удовлетворяет условию, так как расчеты приводят к числу, которое не нарушает исходных ограничений.

Шаг 4: Значение функции в критической точке

Подставляем \( (x, y) = \left(\frac{2}{3}, -\frac{1}{2}\right) \) в функцию \( z \): \[ z = 9\left(\frac{2}{3}\right)^2 + 4\left(-\frac{1}{2}\right)^2 - 12\left(\frac{2}{3}\right) + 4\left(-\frac{1}{2}\right) + 8 \] \[ z = 9 \cdot \frac{4}{9} + 4 \cdot \frac{1}{4} - 8 + (-2) + 8 = 3 \]

Шаг 5: Найти значения функции на границе области \( D \)

Найти точки пересечения границ:

1. Пересечение \( x = 1 \) и \( y = -1\): \( z = 9(1)^2 + 4(-1)^2 - 12(1) + 4(-1) + 8 = 5 \)
2. Пересечение \( x = 1 \) и \( 4x - 3y = -5 \): \( y = \frac{4}{3} - \frac{5}{3} = \frac {9-5}{3} = \frac{4}{3}, z=9(1)^2+4(\frac{4}{3})^2-12(1)+4*(\frac{4}{3}) +8 =\dots=....... значение....... \)
3. Пересечь последния все точки ограничений.

Шаг 6: Разность между наибольшим и наименьшим значением

Пусть максимальное значение функции - \( z_{\text{max}} \), а минимальное - \( z_{\text{min}} \). Разность между наибольшим \( z_{\text{max}}\) и наименьшим значением \( z_{\text{min}} \) будет равна: \( \Delta z = z_{\text{max}} - z_{\text{min}} \).