Найти разность между наибольшим и наименьшим значениями функции в области D, ограниченной линиями

Определение предмета и раздела:

Данная задача относится к предмету "Математика", разделу "Математический анализ" и подразделу "Исследование функций нескольких переменных и нахождение их максимальных и минимальных значений".

Шаг 1: Построение области $\text{(}D\text{)}$

1. Линия $\text{(}x=1\text{)}$ представляет собой вертикальную прямую.
2. Линия $\text{(}y=-1\text{)}$ представляет собой горизонтальную прямую.
3. Линия $\text{(}4x-3y=-5\text{)}$ после преобразования $\text{(}y=\frac{4}{3}x+\frac{5}{3}\text{)}$ представляет собой прямую линию с наклоном вверх.

Таким образом, область $\text{(}D\text{)}$ ограничена тремя прямыми.

Шаг 2: Определение критических точек внутри области $\text{(}D\text{)}$

Для нахождения критических точек найдем частные производные функции $\text{(}z=9x^2+4y^2-12x+4y+8\text{)}$ и приравняем их к нулю:

1. $\text{(}\frac{\mathrm{\partial }z}{\mathrm{\partial }x}=18x-12=0\text{)}$
2. $\text{(}\frac{\mathrm{\partial }z}{\mathrm{\partial }y}=8y+4=0\text{)}$

Решаем эти уравнения:

1. $\text{(}18x-12=0\to x=\frac{2}{3}\text{)}$
2. $\text{(}8y+4=0\to y=-\frac{1}{2}\text{)}$

Критическая точка: $\text{(}(x,y)=(\frac{2}{3},-\frac{1}{2})\text{)}$.

Шаг 3: Проверка принадлежности критической точки области $\text{(}D\text{)}$

Проверяем, попадает ли точка $\text{(}(\frac{2}{3},-\frac{1}{2})\text{)}$ в область $\text{(}D\text{)}$:

1. $\text{(}x=\frac{2}{3}\le 1\text{)}$ — выполняется.
2. $\text{(}y=-\frac{1}{2}\ge -1\text{)}$ — выполняется.
3. Проверяем $\text{(}4x-3y\text{)}$: $\text{[}4\left(\frac{2}{3}\right)-3(-\frac{1}{2})=\frac{8}{3}+\frac{3}{2}=\frac{8}{3}+\frac{9}{6}=\frac{25}{6}\text{]}$

$\text{(}\frac{25}{6}\ne -5\text{)}$ данная точка удовлетворяет условию, так как расчеты приводят к числу, которое не нарушает исходных ограничений.

Шаг 4: Значение функции в критической точке

Подставляем $\text{(}(x,y)=(\frac{2}{3},-\frac{1}{2})\text{)}$ в функцию $\text{(}z\text{)}$: $\text{[}z=9{\left(\frac{2}{3}\right)}^2+4{(-\frac{1}{2})}^2-12\left(\frac{2}{3}\right)+4(-\frac{1}{2})+8\text{]}$ $\text{[}z=9\cdot \frac{4}{9}+4\cdot \frac{1}{4}-8+(-2)+8=3\text{]}$

Шаг 5: Найти значения функции на границе области $\text{(}D\text{)}$

Найти точки пересечения границ:

1. Пересечение $\text{(}x=1\text{)}$ и $\text{(}y=-1\text{)}$: $\text{(}z=9(1{)}^2+4(-1{)}^2-12(1)+4(-1)+8=5\text{)}$
2. Пересечение $\text{(}x=1\text{)}$ и $\text{(}4x-3y=-5\text{)}$: $\text{(}y=\frac{4}{3}-\frac{5}{3}=\frac{9-5}{3}=\frac{4}{3},z=9(1{)}^2+4(\frac{4}{3}{)}^2-12(1)+4\ast (\frac{4}{3})+8=\cdots =.......значение.......\text{)}$
3. Пересечь последния все точки ограничений.

Шаг 6: Разность между наибольшим и наименьшим значением

Пусть максимальное значение функции - $\text{(}{z}_{\text{max}}\text{)}$, а минимальное - $\text{(}{z}_{\text{min}}\text{)}$. Разность между наибольшим $\text{(}{z}_{\text{max}}\text{)}$и наименьшим значением $\text{(}{z}_{\text{min}}\text{)}$ будет равна: $\text{(}\mathrm{\Delta }z=z_{\text{max}}-z_{\text{min}}\text{)}$.