Найти разность между наибольшим и наименьшим значениями функции, ограниченной линиями

Данная задача относится к предмету "математика", разделу "математический анализ" или "исследование функций".

Для нахождения разности наибольшего и наименьшего значений функции \( z = 1 - 9x^2 - 4y^2 + 24x - 4y \) в области \( D \), ограниченной линиями \( x = 2 \), \( y = -1 \) и \( 3x - 2y = 2 \), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Находим границы области \( D \):
   • \( x = 2 \)
   • \( y = -1 \)
   • Прямая \( 3x - 2y = 2 \)
2. Выразим \( y \) через \( x \) из уравнения прямой: \[ 2y = 3x - 2 \] \[ y = \frac{3x - 2}{2} \]
3. Исследуем граничные значения функции на этих линиях. Начнем с подстановки границ.

Граница \( x = 2 \):

Подставим \( x = 2 \) в исходную функцию \( z \): \[ z = 1 - 9(2)^2 - 4y^2 + 24(2) - 4y \] \[ z = 1 - 36 - 4y^2 + 48 - 4y \] \[ z = 13 - 4y^2 - 4y \]

Граница \( y = -1 \):

Теперь подставим \( y = -1 \): \[ z = 1 - 9x^2 - 4(-1)^2 + 24x - 4(-1) \] \[ z = 1 - 9x^2 - 4 + 24x + 4 \] \[ z = 1 - 9x^2 + 24x + 0 \] \[ z = 1 - 9x^2 + 24x \]

Граница \( 3x - 2y = 2 \):

Выразим \( y \) и подставим в функцию \( z \): \[ y = \frac{3x - 2}{2} \] \[ z = 1 - 9x^2 - 4\left(\frac{3x - 2}{2}\right)^2 + 24x - 4\left(\frac{3x - 2}{2}\right) \] \[ z = 1 - 9x^2 - 4\left(\frac{9x^2 - 12x + 4}{4}\right) + 24x - 2(3x - 2) \] \[ z = 1 - 9x^2 - (9x^2 - 12x + 4) + 24x - 6x + 4 \] \[ z = 1 - 18x^2 + 30x - 4 + 4 \] \[ z = -18x^2 + 30x + 1 \]

Находим частные производные:

\[ \frac{\partial z}{\partial x} = -18x + 30 \] \[ \frac{\partial z}{\partial y} = -8y - 4 \] Приравниваем частные производные к нулю: \[ -18x + 30 = 0 \] \[ x = \frac{30}{18} = \frac{5}{3} \] \[ -8y - 4 = 0 \] \[ y = -\frac{4}{8} = -\frac{1}{2} \] Таким образом, находим стационарные точки \( \left( \frac{5}{3}, - \frac{1}{2} \right) \). Подставляем в еще раз для получения значения функции: \[ z = 1 - 9\left(\frac{5}{3}\right)^2 - 4\left(-\frac{1}{2}\right)^2 + 24\left(\frac{5}{3}\right) - 4\left(-\frac{1}{2}\right) \] \[ z = 1 - 25 - 1 + 40 + 2 \] \[ z = 97 \] Теперь подставляем граничные точки: значения: \(\displaystyle z(2, -1)\), \(z(2,1)=97 \) Таким образом разница максимального и минимального числа: \\ \[ z_{max}-z_{min}=\boxed{ 97}. \]