Найти разность между наибольшим и наименьшим значениями функции

Определение предмета и раздела:

• Предмет: Математика
• Раздел: Аналитическая геометрия и экстремум функций

Решение:

1. Определим область функции: Область $D$ ограничена линиями: \[ x = 1, \quad y = 1, \quad 3y - 2x = -5. \] Разберемся с линией \(3y - 2x = -5\). Выразим \(y\) через \(x\): \[ y = \frac{2x - 5}{3}. \]
2. Найдём точки пересечения линий: Разберем пересечения каждой из линий \( x = 1 \) и \( y = 1 \) с \( y = \frac{2x - 5}{3} \).
   • Подставим \( x = 1 \) в \( y = \frac{2x - 5}{3} \): \[ y = \frac{2(1) - 5}{3} = \frac{2 - 5}{3} = -1. \] То есть, точка пересечения: \( (1, -1) \).
   • Подставим \( y = 1 \) в \( y = \frac{2x - 5}{3} \): \[ 1 = \frac{2x - 5}{3} \implies 3 = 2x - 5 \implies 2x = 8 \implies x = 4. \] То есть, точка пересечения: \( (4, 1) \).
3. Проверим требования описания области: Таким образом область \(D\) имеет следующие вершины:
   • \( (1, 1) \)
   • \( (1, -1) \)
   • \( (4, 1) \)
4. Рассчитаем значения функции в этих точках: \[ z = 9x^2 + 25y^2 - 30x - 20y + 8. \]
   • Точка \( (1, 1) \): \[ z = 9(1)^2 + 25(1)^2 - 30(1) - 20(1) + 8 = 9 + 25 - 30 - 20 + 8 = -8. \]
   • Точка \( (1, -1) \): \[ z = 9(1)^2 + 25(-1)^2 - 30(1) - 20(-1) + 8 = 9 + 25 - 30 + 20 + 8 = 32. \]
   • Точка \( (4, 1) \): \[ z = 9(4)^2 + 25(1)^2 - 30(4) - 20(1) + 8 = 144 + 25 - 120 - 20 + 8 = 37. \]
5. Определяем разницу между наибольшим и наименьшим значением функции: Наибольшее значение функции: \( 37 \). Наименьшее значение функции: \( -8 \). Разница: \[ 37 - (-8) = 37 + 8 = 45. \]

Ответ:

Разность между наибольшим и наименьшим значениями функции составляет \( 45 \).