Найти расстояние от начала координат до директрисы параболы

Предмет: Математика

Раздел: Аналитическая геометрия

Решение

Нам нужно найти расстояние от начала координат до директрисы данной параболы. Для начала определим параметры параболы из её уравнения. Дано уравнение параболы: \( (x + 8)^2 = 20(y - 1) \)

1. Определение общей формы параболы: Общее каноническое уравнение параболы, ориентированной вертикально, имеет вид: \( (x - h)^2 = 4p(y - k) \) где \( (h, k) \) — вершина параболы, а \( p \) — расстояние от вершины до фокуса и директрисы.
2. Приведение к канонической форме: Наше уравнение: \( (x + 8)^2 = 20(y - 1) \) Можно переписать его в канонической форме: \( (x - (-8))^2 = 20(y - 1) \) Здесь \( h = -8 \), \( k = 1 \), а \( 4p = 20 \), следовательно, \( p = \frac{20}{4} = 5 \).
3. Определение директрисы: Директриса параболы, ориентированной вертикально, располагается на расстоянии \( p \) единиц от вершины в направлении, противоположном фокусу. Поскольку \( p = 5 \), зная, что фокус находится выше вершины (так как \( p > 0 \)), директриса будет ниже вершины. Вершина параболы расположена в точке \( (-8, 1) \). Директриса будет расположена на \( 5 \) единиц ниже вершины, то есть на уровне: \( y = 1 - 5 = -4 \)
4. Нахождение расстояния от начала координат до директрисы: Директриса горизонтальна и имеет уравнение: \( y = -4 \) Расстояние от начала координат \( (0, 0) \) до линии \( y = -4 \) можно найти как модуль разности \( y \)-координаты начала координат и директрисы (так как эта разность и будет искомым расстоянием): \( d = |0 - (-4)| = |4| = 4 \)

Ответ:

Расстояние от начала координат до директрисы параболы равно 4.