Работа вам нужна срочно. Не волнуйтесь, уложимся!
Заполните, пожалуйста, данные для автора:
- 22423 авторов готовы помочь тебе.
- 2402 онлайн
Найти радиус сходимости степенного ряда:
\[ 1 + \sum \frac{a(a+1)\dots(a+n-1) \cdot b(b+1)\dots(b+n-1)}{n! \cdot j(j+1)\dots(j+n-1)} z^n \]
Для нахождения радиуса сходимости степенного ряда нужно воспользоваться признаком Д’Аламбера. Этот признак применим для рядов с общим членом вида \( c_n z^n \), и радиус сходимости \(R\) находится через предел следующей величины:
\[ \frac{1}{R} = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{c_{n+1}}{c_n} \right| \]
Где \(c_n\) — коэффициенты при \( z^n \) в разложении ряда.
Общий \(n\)-ый член ряда:
\[ c_n = \frac{a(a+1)\dots(a+n-1) \cdot b(b+1)\dots(b+n-1)}{n! \cdot j(j+1)\dots(j+n-1)} \]
Здесь каждый множитель в числителе и знаменателе можно приблизить с помощью асимптотики разложения. Факториальные множители могут быть упрощены с помощью формулы Стирлинга, которая приближает факториалы для больших \(n\):
\[ n! \sim \sqrt{2\pi n} \left( \frac{n}{e} \right)^n \]
Это даёт нам представление о том, как ведут себя члены числителя и знаменателя для больших \( n \).
Для определения радиуса сходимости нам необходимо найти предел отношения \( \frac{c_{n+1}}{c_n} \) при \( n \to \infty \). Общий вид получается следующим:
\[ \frac{c_{n+1}}{c_n} = \frac{a(a+1)\dots(a+n) \cdot b(b+1)\dots(b+n)}{(n+1) \cdot j(j+1)\dots(j+n)} \]
Когда \(n\) становится достаточно большим, каждое выражение в круглых скобках ведёт себя примерно как константа для фиксированных \(a, b, j\). То есть их вклады становятся незначительными по сравнению с факториальными величинами. Примерная асимптотика для больших \(n\) при использовании формулы Стирлинга даст нам следующее упрощение для радиуса сходимости:
\[ \lim_{n \to \infty} \left| \frac{c_{n+1}}{c_n} \right| \sim \frac{1}{n+1} \]
Таким образом, предел равен 0, следовательно:
\[ R = \infty \]
Радиус сходимости ряда: \( R = \infty \). Ряд сходится при любом значении \( z \).