Найти радиус и интервал сходимости степенного ряда

Предмет: Математика

Раздел: Математический анализ (Ряды, степенные ряды, сходимость)

Дан степенной ряд:

\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{n (x - 5)^n}{(2n - 1) \cdot 5^n}

1. Найдём радиус сходимости

Радиус сходимости степенного ряда вычисляется по формуле Абеля:

R = \frac{1}{\limsup\limits_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|}}

где a_n — коэффициенты степенного ряда, то есть:

a_n = \frac{n}{(2n - 1) \cdot 5^n}

Рассмотрим предельную верхнюю грань последовательности \sqrt[n]{|a_n|}:

\sqrt[n]{\left| \frac{n}{(2n - 1) \cdot 5^n} \right|} = \frac{\sqrt[n]{n}}{\sqrt[n]{(2n - 1) \cdot 5^n}}

Так как \sqrt[n]{n} \to 1 при n \to \infty, а \sqrt[n]{5^n} = 5, то:

\limsup\limits_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|} = \frac{1}{5}

Тогда радиус сходимости:

R = \frac{1}{1/5} = 5

2. Найдём интервал сходимости

Ряд сходится в интервале:

|x - 5| < 5

или

-5 < x - 5 < 5

что эквивалентно:

0 < x < 10

Теперь исследуем сходимость на концах интервала.

3. Исследуем сходимость на концах интервала

При x = 0:

Подставляем x = 0 в ряд:

\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{n (-5)^n}{(2n - 1) \cdot 5^n}

Упрощаем:

\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{n (-1)^n}{(2n - 1)}

Это знакочередующий ряд вида:

\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{n (-1)^n}{(2n - 1)}

Так как \frac{n}{2n - 1} \to \frac{1}{2}, то общий член не стремится к нулю, а значит, ряд расходится.

При x = 10:

Подставляем x = 10 в ряд:

\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{n (5)^n}{(2n - 1) \cdot 5^n}

Упрощаем:

\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{n}{2n - 1}

Так как \frac{n}{2n - 1} \approx \frac{1}{2} для больших n, то ряд ведёт себя как гармонический и расходится.

4. Ответ

• Радиус сходимости: R = 5
• Интервал сходимости: (0, 10) (исключая концы, так как ряд расходится в x = 0 и x = 10).