Найти производные выражений

Предмет: Математика

Раздел: Математический анализ или Дифференцирование функций

(Тема связана с вычислением производных сложных функций). На изображении изображено несколько функций, и предполагается, что их нужно исследовать, возможно найти производные этих выражений.

Рассмотрим каждое уравнение по порядку.

1. \( y = \sin(1 - 5x) \)
   • Для этого примера можем найти первую производную.
   • Производная синуса имеет вид: \[ \frac{d}{dx} [\sin(f(x))] = \cos(f(x)) \cdot f'(x) \]
   • Где \( f(x) = 1 - 5x \), тогда: \[ f'(x) = -5 \]
   • Поэтому производная будет: \[ y' = \cos(1 - 5x) \cdot (-5) = -5 \cos(1 - 5x) \]
2. \( y = e^{100x + x^2} \)
   • Для экспоненциальной функции с показателем \( 100x + x^2 \) производная будет вычисляться так: \[ \frac{d}{dx} [e^{f(x)}] = e^{f(x)} \cdot f'(x) \]
   • Где \( f(x) = 100x + x^2 \), а производная \( f'(x) \) будет: \[ f'(x) = 100 + 2x \]
   • Тогда производная функции: \[ y' = e^{100x + x^2} \cdot (100 + 2x) \]
3. \( y = x \cdot 10 \cdot \sin (12x) \)
   • Здесь функция является произведением \( x \) и \( 10 \cdot \sin(12x) \). Применяем правило произведения: \[ \frac{d}{dx} [f(x) \cdot g(x)] = f'(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x) \]
   • Где \( f(x) = x \), тогда \( f'(x) = 1 \), и \( g(x) = 10 \sin(12x) \), для чего производная \( g'(x) \) будет: \[ g'(x) = 10 \cdot 12 \cdot \cos(12x) = 120 \cos(12x) \]
   • Таким образом, производная от всей функции: \[ y' = 1 \cdot 10 \sin(12x) + x \cdot 120 \cos(12x) \]
   • Упрощаем: \[ y' = 10 \sin(12x) + 120x \cos(12x) \]
4. \( y = \frac{x}{\sin x} \)
   • Это дробная функция, мы применим правило производной частного: \[ \frac{d}{dx} \left( \frac{f(x)}{g(x)} \right) = \frac{f'(x) \cdot g(x) - f(x) \cdot g'(x)}{[g(x)]^2} \]
   • Где \( f(x) = x \), \( g(x) = \sin(x) \), тогда: \[ f'(x) = 1, \quad g'(x) = \cos(x) \]
   • Подставляем в формулу: \[ y' = \frac{1 \cdot \sin(x) - x \cdot \cos(x)}{\sin^2(x)} = \frac{\sin(x) - x \cos(x)}{\sin^2(x)} \]
5. \( y = x^{15} - e^x \)
   • Производная этой функции будет находиться для каждой части отдельно: \[ \frac{d}{dx}[x^{15}] = 15x^{14}, \quad \frac{d}{dx}[e^x] = e^x \]
   • Следовательно, общая производная: \[ y' = 15x^{14} - e^x \]

Заключение:

Мы рассмотрели 5 выражений и нашли их производные. Это задание относится к вычислению производных функций и использованию соответствующих правил дифференцирования: производная сложной функции, производная произведения и производная частного.