Найти производные второго порядка заданных функций. Найти производные третьего порядка заданных функций. Найти дифференциалы функций

Предмет данного задания — математический анализ, а конкретный раздел — дифференцирование функций. Разберем каждое из заданий по порядку:

Задание №46. Найти производные второго порядка заданных функций:

1. \( y = 2x^3 + 2x + 1 \) Первая производная: \[ y' = 6x^2 + 2 \] Вторая производная: \[ y'' = 12x \]
2. \( y = 2^x \) Первая производная: \[ y' = 2^x \ln 2 \] Вторая производная: \[ y'' = 2^x (\ln 2)^2 \]
3. \( y = \tg x \) Первая производная: \[ y' = \frac{1}{\cos^2 x} = \sec^2 x \] Вторая производная: \[ y'' = 2 \sec^2 x \tg x \]
4. \( y = \sqrt{x^2 + 1} \) Для упрощения обозначим функцию как \( y = (x^2 + 1)^{1/2} \). Первая производная: \[ y' = \frac{1}{2}(x^2 + 1)^{-1/2} \cdot 2x = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}} \] Вторая производная: \[ y'' = \frac{\sqrt{x^2 + 1} \cdot 1 - x \cdot \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}}}{(x^2 + 1)} = \frac{1}{(x^2 + 1)^{3/2}} \]

Задание №47. Найти производные третьего порядка заданных функций:

1. \( y = \frac{1}{12}x^4 + x + 5 \) Первая производная: \[ y' = \frac{4}{12}x^3 + 1 = \frac{1}{3}x^3 + 1 \] Вторая производная: \[ y'' = x^2 \] Третья производная: \[ y''' = 2x \]
2. \( y = \cos 3x \) Первая производная: \[ y' = -3 \sin 3x \] Вторая производная: \[ y'' = -9 \cos 3x \] Третья производная: \[ y''' = 27 \sin 3x \]
3. \( y = x \ln x \) Используем правило произведения. Первая производная: \[ y' = 1 \cdot \ln x + x \cdot \frac{1}{x} = \ln x + 1 \] Вторая производная: \[ y'' = \frac{1}{x} \] Третья производная: \[ y''' = -\frac{1}{x^2} \]

Задание №48. Найти дифференциалы функций:

1. \( y = x^2 + 2x - 4 \) Найдем первую производную: \[ y' = 2x + 2 \] Дифференциал: \[ dy = (2x + 2) dx \]
2. \( y = \frac{1 + x}{1 - x} \) Найдем первую производную с использованием правила частных: \[ y' = \frac{(1 - x) \cdot 1 - (1 + x) \cdot (-1)}{(1 - x)^2} = \frac{1 - x + 1 + x}{(1 - x)^2} = \frac{2}{(1 - x)^2} \] Дифференциал: \[ dy = \frac{2}{(1 - x)^2} dx \]
3. \( y = \cos^3 2x \) Применим правило цепочки: Первая производная: \[ y' = 3 \cos^2 2x \cdot (-\sin 2x) \cdot 2 = -6 \cos^2 2x \sin 2x \] Дифференциал: \[ dy = -6 \cos^2 2x \sin 2x \, dx \]
4. \( y = \ln(x^4 + 1) \) Первая производная: \[ y' = \frac{4x^3}{x^4 + 1} \] Дифференциал: \[ dy = \frac{4x^3}{x^4 + 1} \, dx \]
5. \( y = e^{\ctg x} \) Применим правило цепочки: Первая производная: \[ y' = e^{\ctg x} \cdot (-\csc^2 x) \] Дифференциал: \[ dy = -e^{\ctg x} csc^2 x \, dx \]
6. \( r = \ctg \varphi + \csc \varphi \) Первая производная: \[ r' = -\csc^2 \varphi - \csc \varphi \cdot \ctg \varphi \] Дифференциал: \[ dr = (-\csc^2 \varphi - \csc \varphi \cdot \ctg \varphi) \, dvarphi \]

Таким образом, выше мы нашли производные и дифференциалы всех данных функций, используя основные правила дифференцирования.