Найти производные указанных функций, используя правила дифференцирования

Данное задание относится к предмету математика, более точно к разделу математического анализа, и связано с нахождением производных функций с использованием правил дифференцирования. Производная функции y по переменной x обозначается dy/dx или y', и она представляет собой мгновенную скорость изменения y относительно x. На изображении представлена функция: \[ y = 3g(x)^2 \cdot \sqrt{v(x)} \] Чтобы найти её производную, воспользуемся следующими правилами дифференцирования:

1. Правило произведения: (u \cdot v)' = u' \cdot v + u \cdot v'
2. Правило степенной функции: (x^n)' = n \cdot x^{n-1}
3. Правило производной корня: \(\sqrt{x}\)' = (x^{1/2})' = \frac{1}{2\sqrt{x}}
4. Производная сложной функции (через цепное правило): если u = g(x), то \frac{d}{dx} f(g(x)) = f'(g(x)) \cdot g'(x)

Сначала найдём производную функции 3g(x)^2. Это производная от произведения константы и функции в степени, что даст нам: \[ \frac{d}{dx} [3g(x)^2] = 3 \cdot \frac{d}{dx} [g(x)^2] = 3 \cdot 2g(x) \cdot g'(x) = 6g(x)g'(x) \] Теперь найдём производную функции \(\sqrt{v(x)}\). Здесь также применим цепное правило: \[ \frac{d}{dx} [\sqrt{v(x)}] = \frac{d}{dv} [\sqrt{v}] \cdot \frac{dv}{dx} \] \[ \frac{d}{dx} [\sqrt{v(x)}] = \frac{1}{2\sqrt{v(x)}} \cdot v'(x) \] Теперь, чтобы получить производную исходной функции, умножим производные этих двух частей (правило произведения): \[ y' = \frac{d}{dx} [3g(x)^2 \cdot \sqrt{v(x)}] \] \[ y' = 6g(x)g'(x) \cdot \sqrt{v(x)} + 3g(x)^2 \cdot \frac{1}{2\sqrt{v(x)}} \cdot v'(x) \] \[ y' = 6g(x)g'(x) \cdot \sqrt{v(x)} + \frac{3g(x)^2 \cdot v'(x)}{2\sqrt{v(x)}} \] Это и есть искомая производная функции y по переменной x, при условии, что функции g и v и их производные нам известны.