Найти производные первого порядка данных функций, используя правила вычисления производных

Предмет: Математика
Раздел: Математический анализ — Дифференцирование

Найдем производную первого порядка функции:

y = 3 \cdot \sqrt[3]{x} - \ln(4x)

Шаг 1: Преобразуем выражения

1. Кубический корень можно записать как степень: \sqrt[3]{x} = x^{1/3}

2. Логарифм произведения можно разложить по свойству логарифма: \ln(4x) = \ln 4 + \ln x

Подставим это в исходную функцию: y = 3x^{1/3} - (\ln 4 + \ln x) = 3x^{1/3} - \ln x - \ln 4

Шаг 2: Найдем производную

Используем стандартные правила дифференцирования:

• Производная от x^{n} равна nx^{n-1}
• Производная от \ln x равна \frac{1}{x}
• Производная от константы равна нулю

Применим это:

 \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(3x^{1/3}) - \frac{d}{dx}(\ln x) - \frac{d}{dx}(\ln 4) 

 \frac{dy}{dx} = 3 \cdot \frac{1}{3}x^{-2/3} - \frac{1}{x} - 0 

 \frac{dy}{dx} = x^{-2/3} - \frac{1}{x} 

Ответ:

\frac{dy}{dx} = x^{-2/3} - \frac{1}{x}