Найти производные, используя правила дифференцирования и таблицу производных

Данный пример относится к предмету "математика", в частности, к разделу "дифференцирование функций" в математическом анализе. Нам необходимо найти производную функции:

\[ y = \ln \left( x + \sqrt{4 + x^2} \right) \]

Шаг 1: Используем правило дифференцирования сложных функций

Чтобы найти производную логарифма, воспользуемся следующим правилом:

\[ \frac{d}{dx}[\ln u(x)] = \frac{1}{u(x)} \cdot \frac{du(x)}{dx} \]

В нашем случае \(u(x) = x + \sqrt{4 + x^2}\). Поэтому для нахождения \(\frac{dy}{dx}\), сначала найдем производную от выражения под логарифмом.

Шаг 2: Найдем производную от функции \(u(x) = x + \sqrt{4 + x^2}\)

Запишем производную для суммы \(u(x) = x + \sqrt{4 + x^2}\):

1. Производная от \(x\) равна 1: \[ \frac{d}{dx}[x] = 1 \]
2. Теперь найдем производную от \(\sqrt{4 + x^2}\). Для этого воспользуемся правилом цепочки. Производная от \(\sqrt{f(x)}\) равна \(\frac{1}{2\sqrt{f(x)}} \cdot f'(x)\), где \(f(x)\) — это функция, стоящая под корнем. В нашем случае \(f(x) = 4 + x^2\), следовательно:

\[ f'(x) = 2x \]

Теперь считаем полную производную от \(\sqrt{4 + x^2}\):

\[ \frac{d}{dx} \left( \sqrt{4 + x^2} \right) = \frac{1}{2\sqrt{4 + x^2}} \cdot 2x = \frac{x}{\sqrt{4 + x^2}} \]

Итак, производная \(u(x)\) равна:

\[ u'(x) = 1 + \frac{x}{\sqrt{4 + x^2}} \]

Шаг 3: Используем правило для логарифмической функции

Теперь можем найти полную производную:

\[ \frac{dy}{dx} = \frac{1}{x + \sqrt{4 + x^2}} \cdot \left( 1 + \frac{x}{\sqrt{4 + x^2}} \right) \]

Это и есть ответ.

Окончательный ответ: