Найти производные

Предмет и раздел: Это задание по математике, раздел – математический анализ, тема – нахождение производной сложных функций. Теперь перейдём к решению задачи. Нам нужно найти производную функции:

y = \left(1 + \sqrt[3]{x}\right)^5 + e^{2x} \cdot \cot(3x) - 5

Обозначим функцию как сумму отдельных частей:

1. y_1 = \left(1 + \sqrt[3]{x}\right)^5
2. y_2 = e^{2x} \cdot \cot(3x)
3. y_3 = -5 (производная константы равна нулю).

Шаг 1: Производная первой части

y_1 = \left(1 + \sqrt[3]{x}\right)^5

Используем здесь правило цепочки для нахождения производной сложной функции:

1. Внешняя функция: \left(1 + \sqrt[3]{x}\right)^5. Производная внешней функции по внутренней функции: \frac{d}{dx}\left[\left(1 + \sqrt[3]{x}\right)^5\right] = 5\left(1 + \sqrt[3]{x}\right)^4
2. Внутренняя функция: 1 + \sqrt[3]{x}, производная по x: \frac{d}{dx}\left(1 + \sqrt[3]{x}\right) = \frac{1}{3}x^{-\frac{2}{3}}

Теперь умножим производные: y_1' = 5\left(1 + \sqrt[3]{x}\right)^4 \cdot \frac{1}{3} x^{-\frac{2}{3}}

Шаг 2: Производная второй части

y_2 = e^{2x} \cdot \cot(3x)

Здесь мы применим правило производной произведения:

y_2' = \frac{d}{dx}\left( e^{2x} \right) \cdot \cot(3x) + e^{2x} \cdot \frac{d}{dx}\left( \cot(3x) \right)

1. Производная e^{2x}: \frac{d}{dx}\left( e^{2x} \right) = 2e^{2x}
2. Производная \cot(3x): используем правило производной для котангенса: \frac{d}{dx}\left( \cot(3x) \right) = -3\csc^2(3x) (Здесь \csc(3x) — это косеканс, равный \frac{1}{\sin(3x)}).

Теперь подставим всё это в формулу производной произведения: y_2' = 2e^{2x} \cdot \cot(3x) + e^{2x} \cdot \left( -3\csc^2(3x) \right)

Шаг 3: Производная третьей части

y_3 = -5

Производная константы всегда равна нулю: y_3' = 0

Итог:

Теперь сложим все полученные производные: y' = y_1' + y_2' + y_3' = 5\left(1 + \sqrt[3]{x}\right)^4 \cdot \frac{1}{3}x^{-\frac{2}{3}} + \left( 2e^{2x} \cdot \cot(3x) - 3e^{2x} \cdot \csc^2(3x) \right)

Это финальная запись производной функции y.