Найти производную заданной функции

Это задача по математическому анализу, конкретно по дифференциальному исчислению (нахождению производных). Для решения задачи и нахождения производной данной функции \( y = \sin \left( \sqrt{\ln (10x^2 - 9)} \right) \), используем цепное правило дифференцирования. Обозначим:

\[ u = \sqrt{ \ln (10x^2 - 9) } \]
\[ v = \ln (10x^2 - 9) \]

Функция тогда имеет вид:

\[ y = \sin(u) \]
\[ u = \sqrt{v} \]
\[ v = \ln (10x^2 - 9) \]

1. Найдём производную функции \( y = \sin(u) \) по \( u \):

\[ \frac{dy}{du} = \cos(u) \]

2. Найдём производную функции \( u = \sqrt{v} \) по \( v \):

\[ u = v^{1/2} \]
\[ \frac{du}{dv} = \frac{1}{2} v^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{v}} \]

3. Найдём производную функции \( v = \ln (10x^2 - 9) \) по \( x \):

\[ \frac{dv}{dx} = \frac{d}{dx} \ln (10x^2 - 9) \]
\[ \frac{d}{dx} \ln (10x^2 - 9) = \frac{1}{10x^2 - 9} \cdot \frac{d}{dx} (10x^2 - 9) \]
\[ \frac{d}{dx} (10x^2 - 9) = 20x \]
Таким образом,
\[ \frac{dv}{dx} = \frac{20x}{10x^2 - 9} \]

Соединим найденные производные по цепному правилу:

\[ \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dv} \cdot \frac{dv}{dx} \]
\[ \frac{dy}{dx} = \cos(u) \cdot \frac{1}{2\sqrt{v}} \cdot \frac{20x}{10x^2 - 9} \]

Обратим \( u \) и \( v \) к исходным переменным:

\[ u = \sqrt{\ln (10x^2 - 9)} \]
\[ v = \ln (10x^2 - 9) \]

Тогда результат:

\[ \frac{dy}{dx} = \cos \left( \sqrt{\ln (10x^2 - 9)} \right) \cdot \frac{1}{2\sqrt{\ln (10x^2 - 9)}} \cdot \frac{20x}{10x^2 - 9} \]
\[ \frac{dy}{dx} = \frac{10x \cos \left( \sqrt{\ln (10x^2 - 9)} \right)}{(10x^2 - 9) \cdot \sqrt{\ln (10x^2 - 9)}} \]

Таким образом, производная функции \( y = \sin \left( \sqrt{\ln (10x^2 - 9)} \right) \) по \( x \) равна:

\[ \boxed{\frac{10x \cos \left( \sqrt{\ln (10x^2 - 9)} \right)}{(10x^2 - 9) \cdot \sqrt{\ln (10x^2 - 9)}} \]