Найти производную y

Определение предмета и раздела:

Предмет: Математика
Раздел: Математический анализ (Дифференцирование сложных функций)

Дано:

Функция:  y = 2x7^{x/2} 

Нужно найти производную  y' .

Шаг 1: Вспоминаем правило дифференцирования произведения

Функция представлена в виде произведения двух множителей:

•  2x  — первая функция
•  7^{x/2}  — вторая функция

Для нахождения производной произведения используется правило Лейбница:  (uv)' = u'v + uv' 

Где:

•  u = 2x ,  u' = 2 
•  v = 7^{x/2} , найдем  v'  отдельно.

Шаг 2: Производная показательной функции

Функция  v = 7^{x/2}  — это показатель экспоненциального типа. Для нахождения производной используем общую формулу:  \frac{d}{dx} a^x = a^x \ln a 

Но у нас показатель — сложная функция  x/2 , поэтому применяем правило дифференцирования сложной функции:  \frac{d}{dx} a^{f(x)} = a^{f(x)} \ln a \cdot f'(x) 

Где:

•  a = 7 
•  f(x) = x/2 , тогда  f'(x) = 1/2 

Подставляем:  v' = 7^{x/2} \ln 7 \cdot \frac{1}{2} 

Шаг 3: Применяем правило Лейбница

Теперь подставляем все в формулу производной произведения:

 y' = (2x)' 7^{x/2} + 2x (7^{x/2})' 

Подставляем производные:  y' = 2 \cdot 7^{x/2} + 2x \cdot 7^{x/2} \ln 7 \cdot \frac{1}{2} 

Упрощаем:  y' = 2 \cdot 7^{x/2} + x \cdot 7^{x/2} \ln 7 

Финальный ответ:  y' = 7^{x/2} (2 + x \ln 7) 

Итог:

Производная функции  y = 2x7^{x/2}  найдена с использованием:

• Правила производной произведения
• Производной показательной функции
• Производной сложной функции

Ответ:  y' = 7^{x/2} (2 + x \ln 7)