Найти производную сложной функции

Определим предмет и раздел:

Предмет: Математика.
Раздел: Математический анализ (дифференцирование, исследование функций, пределы) и геометрия (экстремальные задачи).

Решение:

Начнем с первого задания.

1. Найти производную сложной функции.

Рассмотрим первую функцию:
y = \frac{(x - 1)^2}{x^2 + x + 1}.

Это дробно-рациональная функция. Для нахождения производной применим правило дифференцирования частного:
\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2},
где u = (x - 1)^2, v = x^2 + x + 1.

Найдем производные числителя и знаменателя:

1. u = (x - 1)^2 \implies u' = 2(x - 1),
2. v = x^2 + x + 1 \implies v' = 2x + 1.

Подставим в формулу производной:
y' = \frac{u'v - uv'}{v^2} = \frac{2(x - 1)(x^2 + x + 1) - (x - 1)^2(2x + 1)}{(x^2 + x + 1)^2}.

Раскроем скобки в числителе:
y' = \frac{2(x - 1)(x^2 + x + 1) - (x - 1)^2(2x + 1)}{(x^2 + x + 1)^2}.
= \frac{2(x - 1)(x^2 + x + 1) - (x - 1)(x - 1)(2x + 1)}{(x^2 + x + 1)^2}.

Вынесем общий множитель (x - 1):
y' = \frac{(x - 1) \left[ 2(x^2 + x + 1) - (x - 1)(2x + 1) \right]}{(x^2 + x + 1)^2}.

Упростим выражение в квадратных скобках:
2(x^2 + x + 1) = 2x^2 + 2x + 2,
(x - 1)(2x + 1) = 2x^2 - x - 2x + 1 = 2x^2 - 3x + 1.

Подставим:
y' = \frac{(x - 1) \left[ (2x^2 + 2x + 2) - (2x^2 - 3x + 1) \right]}{(x^2 + x + 1)^2}.

Упростим:
2x^2 + 2x + 2 - 2x^2 + 3x - 1 = 5x + 1.

Итак:
y' = \frac{(x - 1)(5x + 1)}{(x^2 + x + 1)^2}.

Если требуется решение других пунктов, уточните, какой именно пункт решать.