Найти производную функции в направлении градиента функции

Предмет: Математика
Раздел: Математический анализ (частные производные и градиент)

Нам нужно найти производную функции ( z = \ln(x^2 + y^2) ) в точке ( M(3;4) ) в направлении градиента функции ( z ).

Шаг 1: Вычисление градиента функции

Градиент функции ( z ) определяется как вектор, составленный из частных производных функции ( z ) по ( x ) и ( y ): [ \text{grad } z = \left( \frac{\partial z}{\partial x}, \frac{\partial z}{\partial y} \right). ]

Функция:
[ z = \ln(x^2 + y^2). ]

Найдём частные производные:

1. Производная по ( x ): [ \frac{\partial z}{\partial x} = \frac{1}{x^2 + y^2} \cdot \frac{\partial}{\partial x}(x^2 + y^2) = \frac{1}{x^2 + y^2} \cdot 2x = \frac{2x}{x^2 + y^2}. ]

2. Производная по ( y ): [ \frac{\partial z}{\partial y} = \frac{1}{x^2 + y^2} \cdot \frac{\partial}{\partial y}(x^2 + y^2) = \frac{1}{x^2 + y^2} \cdot 2y = \frac{2y}{x^2 + y^2}. ]

Таким образом, градиент: [ \text{grad } z = \left( \frac{2x}{x^2 + y^2}, \frac{2y}{x^2 + y^2} \right). ]

Шаг 2: Подставляем координаты точки ( M(3;4) )

В точке ( M(3;4) ) подставляем ( x = 3 ) и ( y = 4 ) в выражения для градиента:

1. Вычисляем знаменатель: [ x^2 + y^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25. ]

2. Координаты градиента: [ \frac{\partial z}{\partial x} = \frac{2 \cdot 3}{25} = \frac{6}{25}, \quad \frac{\partial z}{\partial y} = \frac{2 \cdot 4}{25} = \frac{8}{25}. ]

Градиент в точке ( M(3;4) ): [ \text{grad } z = \left( \frac{6}{25}, \frac{8}{25} \right). ]

Шаг 3: Производная в направлении градиента

Производная в направлении градиента равна модулю градиента: [ |\text{grad } z| = \sqrt{\left(\frac{6}{25}\right)^2 + \left(\frac{8}{25}\right)^2}. ]

Вычисляем: [ \left(\frac{6}{25}\right)^2 = \frac{36}{625}, \quad \left(\frac{8}{25}\right)^2 = \frac{64}{625}. ]

Сумма: [ \frac{36}{625} + \frac{64}{625} = \frac{100}{625}. ]

Корень: [ |\text{grad } z| = \sqrt{\frac{100}{625}} = \frac{10}{25} = \frac{2}{5}. ]

Ответ:

Производная функции в точке ( M(3;4) ) в направлении градиента равна: [ \frac{2}{5}. ]