Найти производную функции u в точке M в направлении вектора

Предмет: Математика
Раздел: Математический анализ, дифференцирование функций нескольких переменных (направленная производная)

Задача: Найти производную функции u в точке M в направлении вектора \vec{l}.

Дана функция (номер 6):

 u = xyz - z^3 + yz - x + 2 

Точка:

 M(1; -1; -1) 

Вектор направления:

 \vec{l} = \{ -2; 3; 6 \} 

Шаг 1: Найдём градиент функции u.

Градиент — это вектор из частных производных по x, y, z:

 \nabla u = \left( \frac{\partial u}{\partial x}, \frac{\partial u}{\partial y}, \frac{\partial u}{\partial z} \right) 

Вычислим частные производные:

 \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} (xyz - z^3 + yz - x + 2) = yz - 1 

 \frac{\partial u}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} (xyz - z^3 + yz - x + 2) = xz + z 

 \frac{\partial u}{\partial z} = \frac{\partial}{\partial z} (xyz - z^3 + yz - x + 2) = xy - 3z^2 + y 

Шаг 2: Подставим координаты точки M(1; -1; -1) в градиент:

 \frac{\partial u}{\partial x} \bigg|_M = y z - 1 = (-1)(-1) - 1 = 1 - 1 = 0 

 \frac{\partial u}{\partial y} \bigg|_M = x z + z = 1 \cdot (-1) + (-1) = -1 - 1 = -2 

 \frac{\partial u}{\partial z} \bigg|_M = x y - 3 z^2 + y = 1 \cdot (-1) - 3 \cdot (-1)^2 + (-1) = -1 - 3 -1 = -5 

Таким образом,

 \nabla u(M) = (0, -2, -5) 

Шаг 3: Найдём единичный вектор направления \vec{l}.

Дано:

 \vec{l} = (-2, 3, 6) 

Норма вектора:

 |\vec{l}| = \sqrt{(-2)^2 + 3^2 + 6^2} = \sqrt{4 + 9 + 36} = \sqrt{49} = 7 

Единичный вектор направления:

 \hat{l} = \frac{1}{7}(-2, 3, 6) = \left(-\frac{2}{7}, \frac{3}{7}, \frac{6}{7}\right) 

Шаг 4: Найдём производную функции u в точке M в направлении \vec{l} как скалярное произведение градиента и единичного вектора направления:

 D_{\vec{l}} u = \nabla u(M) \cdot \hat{l} = (0, -2, -5) \cdot \left(-\frac{2}{7}, \frac{3}{7}, \frac{6}{7}\right) = 0 \cdot \left(-\frac{2}{7}\right) + (-2) \cdot \frac{3}{7} + (-5) \cdot \frac{6}{7} 

 D_{\vec{l}} u = 0 - \frac{6}{7} - \frac{30}{7} = - \frac{36}{7} 

Ответ:

Производная функции u в точке M(1; -1; -1) в направлении вектора \vec{l} = \{-2; 3; 6\} равна:

 \boxed{ - \frac{36}{7} }