Найти производную функции правилом произведения

$$y = x^{2} e^{- 2 x}, y^{'} = ? $$

Чтобы найти производную функции $$y = x^{2} e^{- 2 x} $$ , мы применим правило произведения:

$\[(y_{1} \cdot y_{2})^{'} = y_{1}^{'} \cdot y_{2} + y_{1} \cdot y_{2}^{'} \]$

Здесь:

Найдём производные $$y_{1}^{'} $$ и $$y_{2}^{'} $$ :

$$y_{1}^{'} = (x^{2})^{'} = 2 x $$
$$y_{2}^{'} = (e^{- 2 x})^{'} = - 2 e^{- 2 x} $$ (по правилу производной показательной функции).

Теперь подставим в формулу:

$\[y^{'} = y_{1}^{'} \cdot y_{2} + y_{1} \cdot y_{2}^{'} \]$

$\[y^{'} = (2 x \cdot e^{- 2 x}) + (x^{2} \cdot (- 2 e^{- 2 x})) \]$

Упростим каждое слагаемое:

Следовательно:

$\[y^{'} = 2 x e^{- 2 x} - 2 x^{2} e^{- 2 x} \]$

Вынесем общий множитель $$2 x e^{- 2 x} $$ :

$\[y^{'} = 2 x e^{- 2 x} (1 - x) \]$

$\[y^{'} = 2 x e^{- 2 x} (1 - x) \]$

Время — это деньги!