Найти производную функции правилом произведения

Предмет и раздел: Математика, анализ, раздел "Производная".

Задание №3:

\( y = x^2 e^{-2x}, \; y' = ? \)

Решение:

Чтобы найти производную функции \( y = x^2 e^{-2x} \), мы применим правило произведения:

\[ (y_1 \cdot y_2)' = y_1' \cdot y_2 + y_1 \cdot y_2' \]

Здесь:

• \( y_1 = x^2 \)
• \( y_2 = e^{-2x} \)

Найдём производные \( y_1' \) и \( y_2' \):

1. \( y_1' = (x^2)' = 2x \)
2. \( y_2' = (e^{-2x})' = -2e^{-2x} \) (по правилу производной показательной функции).

Теперь подставим в формулу:

\[ y' = y_1' \cdot y_2 + y_1 \cdot y_2' \]

\[ y' = (2x \cdot e^{-2x}) + (x^2 \cdot (-2e^{-2x})) \]

Упростим каждое слагаемое:

1. \( 2x \cdot e^{-2x} = 2x e^{-2x} \),
2. \( x^2 \cdot (-2e^{-2x}) = -2x^2 e^{-2x} \).

Следовательно:

\[ y' = 2x e^{-2x} - 2x^2 e^{-2x} \]

Вынесем общий множитель \( 2x e^{-2x} \):

\[ y' = 2x e^{-2x} (1 - x) \]

Ответ:

\[ y' = 2x e^{-2x} (1 - x) \]