Найти производную функции по переменной

Задание

Задание относится к разделу математического анализа, точнее, к теме дифференцирование функций нескольких переменных.

Дано: \( u = \frac{y}{x} \), где \( x = \arctan(t) \), \( y = 1 - 2t \). Нужно найти производную функции \( u \) по переменной \( t \), то есть \( \frac{du}{dt} \).

Решение:

1. Запишем функцию u в явном виде:

   Подставляем выражения для \( y \) и \( x \) в формулу:

   \[ u = \frac{1 - 2t}{\arctan(t)} \]

2. Используем правило дифференцирования частного:

   Для функции вида \( u = \frac{g(t)}{h(t)} \), производная по \( t \) находится по формуле:

   \[ \frac{du}{dt} = \frac{g'(t)h(t) - g(t)h'(t)}{h(t)^2} \]

   Здесь:

   • \( g(t) = 1 - 2t \),
   • \( h(t) = \arctan(t) \).
3. Найдем производные \( g'(t) \) и \( h'(t) \):
   • \( g(t) = 1 - 2t \), значит, производная \( g'(t) = -2 \).
   • \( h(t) = \arctan(t) \), значит, производная \( h'(t) = \frac{1}{1 + t^2} \) (это стандартная производная арктангенса).
4. Подставляем значения в формулу для производной частного:

   \[ \frac{du}{dt} = \frac{-2 \cdot \arctan(t) - (1 - 2t) \cdot \frac{1}{1 + t^2}}{\arctan(t)^2} \]

5. Упрощаем выражение:

   Теперь распишем числитель:

   \[ -2 \arctan(t) - \frac{1 - 2t}{1 + t^2} \]

   Так что итоговая производная выражается как:

   \[ \frac{du}{dt} = \frac{-2 \arctan(t) - \frac{1 - 2t}{1 + t^2}}{\arctan(t)^2} \]

На этом решение завершено.