Найти производную функции по направлению вектора MN, где N(2, -3)

Предмет: Математика

Раздел предмета: Математический анализ, частные производные и производная по направлению.

Задание: Найти производную функции \( z = 3 - x^3 y^2 + 2x^2 y^4 \) в точке \( M(-1, 1) \) по направлению вектора \( MN \), где \( N(2, -3) \).

Шаг 1. Найти направление вектора \( MN \)

Сначала найдем координаты вектора \( MN \):

\[ \vec{MN} = (N_x - M_x, N_y - M_y) = (2 - (-1), -3 - 1) = (3, -4) \]

Чтобы использовать этот вектор для вычисления производной, его нужно нормализовать (привести к единичной длине). Сначала найдем длину вектора \( MN \):

\[ \|\vec{MN}\| = \sqrt{3^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \]

Нормализованный вектор \( \vec{u} \) будет:

\[ \vec{u} = \left( \frac{3}{5}, \frac{-4}{5} \right) \]

Шаг 2. Найти частные производные функции \( z \)

Функция \( z \) задается как:

\[ z = 3 - x^3 y^2 + 2x^2 y^4 \]

Найдем частные производные по \( x \) и \( y \).

Частная производная по \( x \):

\[ z_x = \frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} (3 - x^3 y^2 + 2x^2 y^4) = -3x^2 y^2 + 4x y^4 \]

Частная производная по \( y \):

\[ z_y = \frac{\partial z}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} (3 - x^3 y^2 + 2x^2 y^4) = -2x^3 y + 8x^2 y^3 \]

Шаг 3. Подставить координаты точки \( M \) в частные производные

Точка \( M = (-1, 1) \):

Частная производная по \( x \) в точке \( M \):

\[ z_x (-1, 1) = -3(-1)^2(1)^2 + 4(-1)(1)^4 = -3(1)(1) + 4(-1)(1) = -3 - 4 = -7 \]

Частная производная по \( y \) в точке \( M \):

\[ z_y (-1, 1) = -2(-1)^3(1) + 8(-1)^2(1)^3 = -2(-1)(1) + 8(1)(1) = 2 + 8 = 10 \]

Шаг 4. Найти производную по направлению

Производная функции \( z \) по направлению вектора \( \vec{u} \) в точке \( M \) находится по формуле:

\[ D_{\vec{u}}z = z_x \cdot u_x + z_y \cdot u_y \]

Где:

• \( z_x = -7 \)
• \( z_y = 10 \)
• \( u_x = \frac{3}{5} \)
• \( u_y = \frac{-4}{5} \)

Подставим эти значения в формулу:

\[ D_{\vec{u}}z = (-7) \cdot \frac{3}{5} + 10 \cdot \frac{-4}{5} = -\frac{21}{5} - \frac{40}{5} = -\frac{21}{5} - \frac{40}{5} = -\frac{61}{5} = -12.2 \]

Ответ: Производная функции \( z \) в точке \( M(-1, 1) \) по направлению вектора \( MN \) равна \( -12.2 \).