Найти производную функции исходя из определения производной

Предмет: Математика
Раздел: Математический анализ — Производная функции (определение производной)

Задание:
Найти производную функции
y = \sin(3x) - x
исходя из определения производной, то есть без использования готовых формул дифференцирования.

Решение:

Определение производной функции в точке:

Производная функции f(x) в точке x по определению равна пределу:

 f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} 

Применим это определение к функции
f(x) = \sin(3x) - x

1. Вычислим f(x + h):

 f(x + h) = \sin(3(x + h)) - (x + h) = \sin(3x + 3h) - x - h 

2. Вычислим разность f(x + h) - f(x):

 f(x + h) - f(x) = [\sin(3x + 3h) - x - h] - [\sin(3x) - x] = \sin(3x + 3h) - \sin(3x) - h 

3. Подставим в определение производной:

 f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{\sin(3x + 3h) - \sin(3x) - h}{h} 

Разделим дробь:

 f'(x) = \lim_{h \to 0} \left( \frac{\sin(3x + 3h) - \sin(3x)}{h} - 1 \right) 

Используем формулу разности синусов:

 \sin A - \sin B = 2 \cos\left(\frac{A + B}{2}\right) \sin\left(\frac{A - B}{2}\right) 

Применим к \sin(3x + 3h) - \sin(3x):

 \sin(3x + 3h) - \sin(3x) = 2 \cos\left(3x + \frac{3h}{2}\right) \sin\left(\frac{3h}{2}\right) 

Тогда:

 \frac{\sin(3x + 3h) - \sin(3x)}{h} = \frac{2 \cos\left(3x + \frac{3h}{2}\right) \sin\left(\frac{3h}{2}\right)}{h} 

Вспомним, что \frac{\sin(a h)}{h} \to a при h \to 0. Тогда:

 \lim_{h \to 0} \frac{\sin\left(\frac{3h}{2}\right)}{h} = \frac{3}{2} 

И \cos\left(3x + \frac{3h}{2}\right) \to \cos(3x) при h \to 0

Итак:

 \lim_{h \to 0} \frac{\sin(3x + 3h) - \sin(3x)}{h} = 2 \cdot \cos(3x) \cdot \frac{3}{2} = 3 \cos(3x) 

Теперь возвращаемся к выражению для производной:

 f'(x) = \lim_{h \to 0} \left( \frac{\sin(3x + 3h) - \sin(3x)}{h} - 1 \right) = 3 \cos(3x) - 1 

Ответ:

 \boxed{f'(x) = 3 \cos(3x) - 1}