Найти производную функции и вычислить

Задание: Требуется найти производную функции \( f(x) \) в точке \( x = 0 \), где \[ f(x) = \left(\frac{x - 2}{x + 2}\right)^2 \cdot \sqrt{\frac{1 - 4x}{4/4 + 4x}} \] и вычислить \( f'(0) \).

Решение:

Это задание относится к предмету математика (раздел: математический анализ) и теме производная функции.

Шаг 1: Упрощение функции для анализа

Функция представлена в виде произведения двух множителей: \[ f(x) = g(x) \cdot h(x) \], где \[ g(x) = \left(\frac{x - 2}{x + 2}\right)^2, \quad h(x) = \sqrt{\frac{1 - 4x}{4 + 4x}}. \]

Для нахождения производной \( f'(x) \) воспользуемся правилом произведения:

\[ f'(x) = g'(x) \cdot h(x) + g(x) \cdot h'(x). \]

Шаг 2: Вычисление \( g'(x) \)

\[ g(x) = \left(\frac{x - 2}{x + 2}\right)^2. \]

Внутренняя функция — дробь \( \frac{x - 2}{x + 2} \). Для начала найдём её производную:

\[ u(x) = \frac{x - 2}{x + 2}. \]

По правилу производной дроби:

\[ u'(x) = \frac{(1)(x + 2) - (x - 2)(1)}{(x + 2)^2} = \frac{x + 2 - x + 2}{(x + 2)^2} = \frac{4}{(x + 2)^2}. \]

Так как \[ g(x) = (u(x))^2 \], применяем правило цепочки:

\[ g'(x) = 2 \cdot u(x) \cdot u'(x). \]

Подставим \( u(x) = \frac{x - 2}{x + 2} \) и \( u'(x) = \frac{4}{(x + 2)^2} \):

\[ g'(x) = 2 \cdot \frac{x - 2}{x + 2} \cdot \frac{4}{(x + 2)^2} = \frac{8(x - 2)}{(x + 2)^3}. \]

Шаг 3: Вычисление \( h'(x) \)

\[ h(x) = \sqrt{\frac{1 - 4x}{4 + 4x}}. \]

Воспользуемся правилом для производной корня:

\[ h'(x) = \frac{1}{2\sqrt{\frac{1 - 4x}{4 + 4x}}} \cdot \left(\frac{d}{dx} \frac{1 - 4x}{4 + 4x}\right). \]

Для нахождения производной дроби \( \frac{1 - 4x}{4 + 4x} \) применяем правило дифференцирования:

\[ v(x) = \frac{1 - 4x}{4 + 4x}. \]

\[ v'(x) = \frac{(4 + 4x)(-4) - (1 - 4x)(4)}{(4 + 4x)^2}. \]

Раскроем скобки в числителе:

\[ v'(x) = \frac{-16 - 16x - 4 + 16x}{(4 + 4x)^2} = \frac{-20}{(4 + 4x)^2}. \]

Теперь вернёмся к производной \( h'(x) \):

\[ h'(x) = \frac{1}{2\sqrt{\frac{1 - 4x}{4 + 4x}}} \cdot \frac{-20}{(4 + 4x)^2}. \]

Шаг 4: Подстановка \( x = 0 \)

Теперь найдём \( f'(0) \). Для этого вычислим \( g(0) \), \( g'(0) \), \( h(0) \), \( h'(0) \).

1. \( g(0) = \left(\frac{0 - 2}{0 + 2}\right)^2 = \left(\frac{-2}{2}\right)^2 = 1. \)
2. \( g'(0) = \frac{8(0 - 2)}{(0 + 2)^3} = \frac{-16}{8} = -2. \)
3. \( h(0) = \sqrt{\frac{1 - 4(0)}{4 + 4(0)}} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}. \)
4. \( h'(0) = \frac{1}{2\sqrt{\frac{1}{4}}} \cdot \frac{-20}{(4 + 0)^2} = \frac{1}{2 \cdot \frac{1}{2}} \cdot \frac{-20}{16} = 1 \cdot \frac{-5}{4} = -\frac{5}{4}. \)

Подставим всё в формулу \( f'(x) = g'(x) \cdot h(x) + g(x) \cdot h'(x) \):

\[ f'(0) = (-2) \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot \left(-\frac{5}{4}\right) = -1 - \frac{5}{4} = -\frac{4}{4} - \frac{5}{4} = -\frac{9}{4}. \]

Ответ:

\[ f'(0) = -\frac{9}{4}. \]