Найти производную функции

Перед нами задание по математике, тема: Дифференцирование (вычисление производных).

Рассмотрим задания 5–10.

Задание 5

Найти производную функции:

\[ y = \frac{1}{1 - x \ln x}. \]

Решение:

Используем правило дифференцирования сложных функций и производную дроби. Пусть:

\[ u = 1 - x\ln x. \]

Производная числителя равна \( 0 \). Производная знаменателя:

1. \(\ln x\) — производная: \(\frac{1}{x}\).
2. \( x \ln x \) — производная по правилу произведения:

\[ (x \ln x)' = x' \ln x + x (\ln x)' = \ln x + 1. \]

Соответственно:

\[ u' = -(x \ln x)' = -( \ln x + 1). \]

Теперь используем формулу для производной дробной функции:

\[ \left( \frac{1}{u} \right)' = - \frac{u'}{u^2}. \]

Подставляя \( u \) и \( u' \):

\[ y' = - \frac{-(\ln x + 1)}{(1 - x\ln x)^2}. \]

Окончательный ответ:

\[ y' = \frac{\ln x + 1}{(1 - x\ln x)^2}. \]

Задание 6

\[ x = (\cos y)^3, \quad x' = 1. \]

Найти \( y' \).

Решение:

Нам даны \( x \) и требуется найти производную \( y' \), предполагая, что \( y \) зависит от \( x \). Используем метод implicit differentiation (неявного дифференцирования):

\[ x = (\cos y)^3. \]

Дифференцируем обе части уравнения по \( x \):

\[ 1 = 3 (\cos y)^2 \cdot (-\sin y) \cdot y'. \]

Упростим:

\[ 1 = -3 (\cos y)^2 \sin y \cdot y'. \]

Выразим \( y' \):

\[ y' = \frac{-1}{3 (\cos y)^2 \sin y}. \]

Задание 7

Составить уравнение касательной к кривой \( y = \frac{2}{x} \) в точке с абсциссой \( x = 1 \).

Решение:

1. Найдем производную функции:

   \[ y = \frac{2}{x} \implies y' = -\frac{2}{x^2}. \]

2. Подставим точку \( x = 1 \) для нахождения углового коэффициента касательной:

   \[ y'|_{x = 1} = -\frac{2}{1^2} = -2. \]

3. Найдем значение \( y \) в точке \( x = 1 \):

   \[ y|_{x = 1} = \frac{2}{1} = 2. \]

4. Уравнение касательной:

   \[ y - y_1 = k (x - x_1), \]

   где \( k = -2 \), \( x_1 = 1 \), \( y_1 = 2 \):

   \[ y - 2 = -2 (x - 1). \]

   Приведем к общему виду:

   \[ y = -2x + 4. \]

Задание 8

\[ y = \frac{e^x + 1}{e}. \]

Решение:

1. Производная \( e^x \):

   \[ \frac{d}{dx}(e^x) = e^x. \]

2. В данном случае знаменатель — константа \( e \). Производная:

   \[ y' = \frac{1}{e} \cdot \frac{d}{dx}(e^x + 1) = \frac{e^x}{e}. \]

Окончательно:

\[ y' = e^{x-1}. \]

Задание 9

Составить уравнение нормали к кривой:

\[ y = \sqrt{x + y - 2} \]

в точке \((0, 1)\).

Решение:

1. Производная левой и правой частей (implicit differentiation):

   \[ y = \sqrt{x + y - 2}. \]

   Поднимаем обе стороны в квадрат:

   \[ y^2 = x + y - 2. \]

   Дифференцируем по \( x \):

   \[ 2y y' = 1 + y'. \]

   Решаем относительно \( y' \):

   \[ y'(2y - 1) = 1 \implies y' = \frac{1}{2y - 1}. \]

2. В точке \((0, 1)\):

   \[ y' = \frac{1}{2 \cdot 1 - 1} = 1. \]

   Угловой коэффициент нормали:

   \[ k_\text{нормали} = -\frac{1}{k_\text{касательной}} = -\frac{1}{1} = -1. \]

   Уравнение нормали:

   \[ y - y_1 = k_\text{нормали} (x - x_1). \]

   Подставляем \( x_1 = 0, y_1 = 1 \):

   \[ y - 1 = -1(x - 0). \]

   Приведем к общему виду:

   \[ y = -x + 1. \]

Задание 10

Приближенно найти \( \arcsin(0.51) \), заменяя функцию линейным приближением.

Решение:

Линейное приближение функции:

\[ f(x) \approx f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0). \]

Для функции \( f(x) = \arcsin x \), выберем точку \( x_0 = 0.5 \) (близкая к \( 0.51 \)).

1. \( f(x_0) = \arcsin(0.5) = \frac{\pi}{6}. \)
2. Производная \( f'(x) = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} \). При \( x_0 = 0.5 \):

   \[ f'(0.5) = \frac{1}{\sqrt{1 - 0.5^2}} = \frac{1}{\sqrt{0.75}} = \frac{1}{\sqrt{\frac{3}{4}}} = \frac{2}{\sqrt{3}}. \]

3. Линейное приближение:

   \[ f(0.51) \approx \frac{\pi}{6} + \frac{2}{\sqrt{3}} (0.51 - 0.5). \]

   Упростим:

   \[ f(0.51) \approx \frac{\pi}{6} + \frac{2}{\sqrt{3}} \cdot 0.01. \]

   Подставим \(\pi \approx 3.14\), \( \sqrt{3} \approx 1.732 \):

   \[ f(0.51) \approx \frac{3.14}{6} + \frac{2}{1.732} \cdot 0.01. \]

   Вычисляем:

   \[ f(0.51) \approx 0.5233 + 0.0115 \approx 0.5348. \]

Ответ: \[ \arcsin(0.51) \approx 0.5348. \]