Найти производную f'(0)

Предмет: Математика

Раздел: Математический анализ (производные, пределы)

Дано:

Функция ( f(x) ) нечетная, ( f(0) = 0 ).
Определены точки:
 A_n \left( \frac{1}{2^n}; \frac{2^{n+1} + \cos(n+1)}{2^{2n-1} + \cos(2n-1)} \right) 

При каждом ( n \in \mathbb{N} ) график функции ( f(x) ) на промежутке
 x \in \left( \frac{1}{2^{n+1}}, \frac{1}{2^n} \right) 
является отрезком ( An A{n+1} ).

Требуется найти производную ( f'(0) ).

Решение:

Поскольку график функции на каждом таком промежутке является линейным отрезком, можно найти угловые коэффициенты этих отрезков и исследовать их поведение при ( x \to 0 ).

1. Угловой коэффициент секущей между точками ( An ) и ( A{n+1} ):

    k_n = \frac{y_{n+1} - y_n}{x_{n+1} - x_n} 

   Подставляя значения:

    k_n = \frac{\frac{2^{n+2} + \cos(n+2)}{2^{2(n+1)-1} + \cos(2(n+1)-1)} - \frac{2^{n+1} + \cos(n+1)}{2^{2n-1} + \cos(2n-1)}}{\frac{1}{2^{n+1}} - \frac{1}{2^n}} 

2. Предел углового коэффициента при ( n \to \infty ) дает производную в точке 0:

    f'(0) = \lim_{n \to \infty} k_n 

   После упрощений оказывается, что этот предел стремится к 2.

Ответ:

 f'(0) = 2