Найти производную десятого порядка функции

Предмет: Математика
Раздел: Математический анализ — Производные высших порядков, правило Лейбница

Нам нужно найти производную десятого порядка функции:

y = x^3 \cdot \log_2 x

Шаг 1: Применим формулу Лейбница

Производная n-го порядка от произведения двух функций u(x) и v(x):

 \frac{d^n}{dx^n}[u(x) \cdot v(x)] = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} u^{(k)}(x) \cdot v^{(n-k)}(x) 

Пусть:

• u(x) = x^3
• v(x) = \log_2 x

Шаг 2: Найдём производные

Производные от u(x) = x^3:

 u^{(0)}(x) = x^3 \ u^{(1)}(x) = 3x^2 \ u^{(2)}(x) = 6x \ u^{(3)}(x) = 6 \ u^{(k)}(x) = 0, \quad \text{для } k \geq 4 

Производные от v(x) = \log_2 x = \dfrac{\ln x}{\ln 2}:

 v^{(n)}(x) = \frac{d^n}{dx^n} \left(\frac{\ln x}{\ln 2}\right) = \frac{1}{\ln 2} \cdot \frac{d^n}{dx^n}(\ln x) 

Известно, что:

 \frac{d^n}{dx^n}(\ln x) = (-1)^{n-1} \cdot (n-1)! \cdot x^{-n} 

Следовательно:

 v^{(n)}(x) = \frac{(-1)^{n-1} (n-1)!}{\ln 2 \cdot x^n} 

Шаг 3: Применим формулу Лейбница для n = 10

Так как u^{(k)}(x) = 0 при k \geq 4, то в сумме останутся только слагаемые с k = 0, 1, 2, 3:

 y^{(10)}(x) = \sum_{k=0}^{3} \binom{10}{k} u^{(k)}(x) \cdot v^{(10-k)}(x) 

Подставим выражения:

 y^{(10)}(x) = \binom{10}{0} x^3 \cdot v^{(10)}(x) + \binom{10}{1} 3x^2 \cdot v^{(9)}(x) + \binom{10}{2} 6x \cdot v^{(8)}(x) + \binom{10}{3} 6 \cdot v^{(7)}(x) 

Теперь подставим значения производных v^{(n)}(x):

 v^{(m)}(x) = \frac{(-1)^{m-1} (m-1)!}{\ln 2 \cdot x^m} 

Шаг 4: Подставим всё:

 y^{(10)}(x) = x^3 \cdot \frac{(-1)^9 \cdot 9!}{\ln 2 \cdot x^{10}} + 10 \cdot 3x^2 \cdot \frac{(-1)^8 \cdot 8!}{\ln 2 \cdot x^9} + 45 \cdot 6x \cdot \frac{(-1)^7 \cdot 7!}{\ln 2 \cdot x^8} + 120 \cdot 6 \cdot \frac{(-1)^6 \cdot 6!}{\ln 2 \cdot x^7} 

Упростим каждое слагаемое:

1.  \frac{x^3 \cdot (-1)^9 \cdot 9!}{\ln 2 \cdot x^{10}} = \frac{(-1)^9 \cdot 9!}{\ln 2 \cdot x^7} 

2.  \frac{10 \cdot 3x^2 \cdot (-1)^8 \cdot 8!}{\ln 2 \cdot x^9} = \frac{30 \cdot (-1)^8 \cdot 8!}{\ln 2 \cdot x^7} 

3.  \frac{45 \cdot 6x \cdot (-1)^7 \cdot 7!}{\ln 2 \cdot x^8} = \frac{270 \cdot (-1)^7 \cdot 7!}{\ln 2 \cdot x^7} 

4.  \frac{120 \cdot 6 \cdot (-1)^6 \cdot 6!}{\ln 2 \cdot x^7} = \frac{720 \cdot (-1)^6 \cdot 6!}{\ln 2 \cdot x^7} 

Шаг 5: Финальный ответ

 y^{(10)}(x) = \frac{1}{\ln 2 \cdot x^7} \left[(-1)^9 \cdot 9! + 30 \cdot (-1)^8 \cdot 8! + 270 \cdot (-1)^7 \cdot 7! + 720 \cdot (-1)^6 \cdot 6! \right] 

Подставим численные значения:

• (-1)^9 = -1, 9! = 362880
• (-1)^8 = 1, 8! = 40320
• (-1)^7 = -1, 7! = 5040
• (-1)^6 = 1, 6! = 720

Тогда:

 y^{(10)}(x) = \frac{1}{\ln 2 \cdot x^7} \left[-362880 + 30 \cdot 40320 - 270 \cdot 5040 + 720 \cdot 720 \right] 

Посчитаем:

• 30 \cdot 40320 = 1209600
• 270 \cdot 5040 = 1360800
• 720 \cdot 720 = 518400

Теперь:

 y^{(10)}(x) = \frac{1}{\ln 2 \cdot x^7} \left[-362880 + 1209600 - 1360800 + 518400 \right] = \frac{1}{\ln 2 \cdot x^7} \cdot (-362880 + 1209600 - 1360800 + 518400) 

Складываем:

 S = -362880 + 1209600 = 846720 \ S = 846720 - 1360800 = -514080 \ S = -514080 + 518400 = 4320 

Ответ:

 y^{(10)}(x) = \frac{4320}{\ln 2 \cdot x^7}  ✅