Найти производную d^2u/dxdy функции u=sqrt6(2-(2y-x-4)^3) в точке M(-3, 1)

Определение предмета и раздела

Предмет: Математика. Раздел: Математический анализ, конкретно частные производные.

Пошаговое решение

Для нахождения смешанной второй производной \( \frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y} \) функции \( u = \sqrt[6]{2 - (2y - x - 4)^3} \) в точке \( M_0(-3, 1) \), сначала необходимо найти первую частную производную по \( y \), а затем производную результата по \( x \).

Обозначим функцию \( U = 2 - (2y - x - 4)^3 \). Функция \( u \) задана как \( u = U^{1/6} \).

Шаг 1: Найти первую частную производную \(\frac{\partial u}{\partial y}\).

\[ u = U^{1/6} \] Применим цепное правило: \[ \frac{\partial u}{\partial y} = \frac{1}{6} U^{-5/6} \frac{\partial U}{\partial y} \] Теперь нужно найти \(\frac{\partial U}{\partial y}\): \[ U = 2 - (2y - x - 4)^3 \] \[ \frac{\partial U}{\partial y} = -3(2y - x - 4)^2 \cdot \frac{\partial}{\partial y} (2y - x - 4) \] \[ \frac{\partial}{\partial y}(2y - x - 4) = 2 \] Таким образом, \[ \frac{\partial U}{\partial y} = -3(2y - x - 4)^2 \cdot 2 = -6(2y - x - 4)^2 \]

Теперь мы можем найти \(\frac{\partial u}{\partial y}\): \[ \frac{\partial u}{\partial y} = \frac{1}{6} \cdot (2 - (2y - x - 4)^3)^{-5/6} \cdot (-6(2y - x - 4)^2) \] \[ \frac{\partial u}{\partial y} = - (2 - (2y - x - 4)^3)^{-5/6} \cdot (2y - x - 4)^2 \]

Шаг 2: Найти вторую частную производную \(\frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y}\).

Для этого сначала упрощаем дробь выше: \[ \frac{\partial u}{\partial y} = - (2 - (2y - x - 4)^3)^{-5/6} \cdot (2y - x - 4)^2 \] Теперь найдём производную по \( x \): \[ \frac{\partial}{\partial x} \left[- (2 - (2y - x - 4)^3)^{-5/6} \cdot (2y - x - 4)^2 \right] \] Применяем производную произведения: Первая часть: \[ v = - (2 - (2y - x - 4)^3)^{-5/6}, \quad v' = \frac{5}{6} (2 - (2y - x - 4)^3)^-11/6 \cdot 3(2y - x - 4)^2 \cdot (-1) \] \[ v' = - \frac{15}{6} (2 - (2y - x - 4)^3)^{-11/6} \cdot (2y - x - 4)^2 \] Вторая часть: \[ w = (2y - x - 4)^2, \quad w' = 2(2y - x - 4) \cdot (-1) \] \[ w' = -2(2y - x - 4) \] Теперь соберём всё вместе: \[ \frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y} = v'w + vw' \] \[ \frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y} = \left( - \frac{15}{6} (2 - (2y - x - 4)^3)^{-11/6} \cdot (2y - x - 4)^2 \right) \cdot (2y - x - 4)^2 + \left( - (2 - (2y - x - 4)^3)^{-5/6} \right) \cdot (-2(2y - x - 4)) \] \[ \frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y} = - \frac{15}{6} (2 - (2y - x - 4)^3)^{-11/6} \cdot (2y - x - 4)^4 + 2(2 - (2y - x - 4)^3)^{-5/6} \cdot (2y - x - 4) \]

Шаг 3: Подстановить точку \( M_0(-3, 1) \).

Для подстановки, сначала найдём значение функции \( u \) в этой точке: \[ U = 2 - (2 \cdot 1 - (-3) - 4)^3 = 2 - (2 + 3 - 4)^3 = 2 - 1^3 = 1 \] Теперь посчитаем частные производные в этой точке: \[ \frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y} = - \frac{15}{6} \cdot 1^{-11/6} \cdot 1^4 + 2 \cdot 1^{-5/6} \cdot 1 \] \[ \frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y} = - \frac{15}{6} + 2 \] \[ \frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y} = -2.5 + 2 = -0.5 \] Ответ: \( \frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y} \) в точке \( M_0(-3, 1) \) равна \(-\frac{1}{2}\).