Найти производную без использования правила сквозной производной

Предмет: Математика

Раздел: Дифференциальное исчисление (производные)

Задание 6: Даны параметры:

• \( x = \ln(t^2 - 1) \)
• \( y = 2\ln(t + 1) \)

Требуется найти \( y'_x \) (производную \( y \) по \( x \)) без использования правила сквозной производной.

Решение:

Пошагово:

1. Ищем производные \( \frac{dx}{dt} \) и \( \frac{dy}{dt} \).
2. Используем формулу для производной \( y'_x = \frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}} \).

Находим \( \frac{dx}{dt} \):

\[ x = \ln(t^2 - 1) \]

Производная логарифма:

\[ \frac{dx}{dt} = \frac{1}{t^2 - 1} \cdot (2t) = \frac{2t}{t^2 - 1}. \]

Находим \( \frac{dy}{dt} \):

\[ y = 2\ln(t + 1) \]

Производная логарифма:

\[ \frac{dy}{dt} = 2 \cdot \frac{1}{t + 1} = \frac{2}{t + 1}. \]

Выражаем \( y'_x \):

Используем соотношение:

\[ y'_x = \frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}} = \frac{\frac{2}{t+1}}{\frac{2t}{t^2 - 1}}. \]

Упрощаем выражение, домножив числитель и знаменатель на \( t^2 - 1 \):

\[ y'_x = \frac{2(t^2 - 1)}{(t + 1) \cdot 2t}. \]

Сокращаем \( 2 \) в числителе и знаменателе:

\[ y'_x = \frac{t^2 - 1}{t(t + 1)}. \]

Разложим \( t^2 - 1 \) по формуле разности квадратов:

\[ t^2 - 1 = (t - 1)(t + 1), \]

поэтому:

\[ y'_x = \frac{(t - 1)(t + 1)}{t(t + 1)}. \]

Сокращаем \( t + 1 \) в числителе и знаменателе:

Ответ:

\[ y'_x = \frac{t - 1}{t}. \]