Работа вам нужна срочно. Не волнуйтесь, уложимся!
Заполните, пожалуйста, данные для автора:
- 22423 авторов готовы помочь тебе.
- 2402 онлайн
Рассмотрим функцию: \[ y = e^{\sin^2(5x)}. \]
Требуется найти вторую производную этой функции. Для начала найдём первую производную \( y' \), а затем вторую производную \( y'' \).
Используем цепное правило для нахождения первой производной. Напомним правило: \[ \frac{d}{dx} \left( e^u \right) = e^u \cdot u', \] где \( u = \sin^2(5x) \).
1. Производная: \[ y' = e^{\sin^2(5x)} \cdot \frac{d}{dx} \left( \sin^2(5x) \right). \]
2. Производная от \( \sin^2(5x) \): Пусть \( \sin^2(5x) = (\sin(5x))^2 \). Для производной квадрата функции используем правило: \( (f(x)^2)' = 2f(x)f'(x) \). Тогда: \[ \frac{d}{dx} \left( \sin^2(5x) \right) = 2\sin(5x) \cdot \frac{d}{dx} (\sin(5x)). \]
Производная от \( \sin(5x) \): \[ \frac{d}{dx} (\sin(5x)) = \cos(5x) \cdot 5 = 5\cos(5x). \]
Итак: \[ \frac{d}{dx} \left( \sin^2(5x) \right) = 2 \sin(5x) \cdot 5\cos(5x) = 10\sin(5x)\cos(5x). \]
3. Подставляем в первую производную: \[ y' = e^{\sin^2(5x)} \cdot 10\sin(5x)\cos(5x). \]
Теперь найдём вторую производную \( y'' \). Для этого воспользуемся правилом произведения: \[ \frac{d}{dx} \big(f(x)g(x)\big) = f'(x)g(x) + f(x)g'(x). \]
В данном случае: \[ y' = e^{\sin^2(5x)} \cdot 10\sin(5x)\cos(5x). \]
Обозначим: \[ f(x) = e^{\sin^2(5x)}, \quad g(x) = 10\sin(5x)\cos(5x). \]
Находим производные \( f'(x) \) и \( g'(x) \).
\[ f'(x) = \frac{d}{dx} \left( e^{\sin^2(5x)} \right) = e^{\sin^2(5x)} \cdot \frac{d}{dx} \left( \sin^2(5x) \right). \]
Производную от \( \sin^2(5x) \) мы уже нашли: \[ \frac{d}{dx} \left( \sin^2(5x) \right) = 10\sin(5x)\cos(5x). \]
Тогда: \[ f'(x) = e^{\sin^2(5x)} \cdot 10\sin(5x)\cos(5x). \]
\( g(x) = 10\sin(5x)\cos(5x) \). Заметим, что: \[ \sin(5x)\cos(5x) = \frac{1}{2} \sin(10x). \]
Тогда: \[ g(x) = 5\sin(10x), \] а производная: \[ g'(x) = 5 \cdot \frac{d}{dx} (\sin(10x)) = 5 \cdot \cos(10x) \cdot 10 = 50\cos(10x). \]
\[ y'' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x). \]
Подставляем \( f(x) = e^{\sin^2(5x)} \), \( f'(x) = e^{\sin^2(5x)} \cdot 10\sin(5x)\cos(5x) \), \( g(x) = 10\sin(5x)\cos(5x) \), \( g'(x) = 50\cos(10x) \): \[ y'' = \big(e^{\sin^2(5x)} \cdot 10\sin(5x)\cos(5x)\big) \cdot \big(10\sin(5x)\cos(5x)\big) + \big(e^{\sin^2(5x)}\big) \cdot \big(50\cos(10x)\big). \]
Упростим: \[ y'' = e^{\sin^2(5x)} \cdot \big(100 (\sin(5x)\cos(5x))^2 + 50\cos(10x)\big). \]
Используем формулы: \[ \sin(5x)\cos(5x) = \frac{1}{2}\sin(10x), \quad (\sin(5x)\cos(5x))^2 = \frac{1}{4}\sin^2(10x). \]
Тогда: \[ y'' = e^{\sin^2(5x)} \cdot \big(25\sin^2(10x) + 50\cos(10x)\big). \]