Найти производную

Предмет: Математика

Раздел: Математический анализ (производная и логарифмические функции)

Задание: Найти производную функции. Дана функция:

\[ y = \ln\left(\frac{\sqrt{x+3}}{x-2}\right). \]

Алгоритм решения:

1. Используем свойства логарифмов, чтобы упростить выражение:

\[ \ln\left(\frac{\sqrt{x+3}}{x-2}\right) = \ln(\sqrt{x+3}) - \ln(x-2). \]

2. Применим правило логарифмов: \(\ln(\sqrt{a}) = \frac{1}{2} \ln(a)\). Тогда:

   \[ y = \frac{1}{2} \ln(x+3) - \ln(x-2). \]

3. Вычисляем производную каждого слагаемого по правилу дифференцирования сложных функций:

Производная \(\frac{1}{2} \ln(x+3)\):

\[ \frac{d}{dx} \left(\frac{1}{2} \ln(x+3)\right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x+3}. \]

Производная \( -\ln(x-2) \):

\[ \frac{d}{dx} \left(-\ln(x-2)\right) = -\frac{1}{x-2}. \]

4. Складываем результаты:

\[ y' = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x+3} - \frac{1}{x-2}. \]

Ответ:

Производная функции:

\[ y' = \frac{1}{2(x+3)} - \frac{1}{x-2}. \]