Найти приближённое значение прироста в точке

Предмет: Математика

Раздел: Производная, вычисление приближенного прироста функции

Рассмотрим задание 2:

Нам дано: \[ y = x + 3 \ln x. \]

Необходимо найти приближённое значение прироста \( dy \) в точке \( x = 2 \) при \( \Delta x = -0.1 \).

Пошаговое решение:

1. Вычислим производную \( y' \):

\[ y = x + 3 \ln x. \]

Возьмём производную по \( x \):

\[ y' = \frac{d}{dx}(x) + \frac{d}{dx}(3 \ln x). \]

\[ y' = 1 + \frac{3}{x}. \]

---

2. Найдём значение производной в точке \( x = 2 \):

Подставляем \( x = 2 \) в полученное выражение для \( y' \):

\[ y'(2) = 1 + \frac{3}{2} = 1 + 1.5 = 2.5. \]

---

3. Вспомним формулу приближённого прироста функции:

Прирост функции \( dy \) можно вычислить как:

\[ dy \approx y'(x) \cdot \Delta x. \]

---

4. Подставим данные:

\[ dy = y'(2) \cdot \Delta x = 2.5 \cdot (-0.1). \]

\[ dy = -0.25. \]

Ответ:

\[ dy \approx -0.25. \]