Найти пределы, не пользуясь правилом Лопиталя

Данное задание относится к предмету "Математика" и конкретно к разделу "Математический анализ", подраздел "Пределы функций". Давайте разберём каждое из заданий по очереди.

Задание б) \[ \lim_{x \to \infty} \frac{x^2 + 2x + 1}{3x^3 + 3x^2 + 5} \]

Для определения этого предела, будем использовать метод деления числителя и знаменателя на высшую степень \(x\) в знаменателе:

1. Найдем высшую степень \(x\) в знаменателе, в данном случае это \(x^3\).
2. Разделим числитель и знаменатель на \(x^3\): \[ \frac{x^2 + 2x + 1}{3x^3 + 3x^2 + 5} = \frac{\frac{x^2}{x^3} + \frac{2x}{x^3} + \frac{1}{x^3}}{\frac{3x^3}{x^3} + \frac{3x^2}{x^3} + \frac{5}{x^3}} = \frac{\frac{1}{x} + \frac{2}{x^2} + \frac{1}{x^3}}{3 + \frac{3}{x} + \frac{5}{x^3}} \]
3. При \(x \to \infty\), все дроби, где \(x\) в знаменателе, стремятся к нулю: \[ \frac{0 + 0 + 0}{3 + 0 + 0} = \frac{0}{3} = 0 \]

Задание г) \[ \lim_{x \to 3} \frac{\sqrt{x + 1} - 2}{x^2 - 9} \]

Здесь мы видим неопределенную форму \(\frac{0}{0}\). Чтобы ее устранить, воспользуемся умножением на сопряженное:

1. Выразим \(\sqrt{x + 1} - 2\) как разность квадратов: \[ \sqrt{x + 1} - 2 = \frac{(\sqrt{x + 1} - 2)(\sqrt{x + 1} + 2)}{\sqrt{x + 1} + 2} = \frac{x+1 - 4}{\sqrt{x + 1} + 2} = \frac{x - 3}{\sqrt{x + 1} + 2} \]
2. Таким образом, наш предел принимает вид: \[ \lim_{x \to 3} \frac{x - 3}{(x - 3)(x + 3)(\sqrt{x + 1} + 2)} = \lim_{x \to 3} \frac{1}{(x + 3)(\sqrt{x + 1} + 2)} \]
3. Теперь подставим \(x = 3\): \[ \frac{1}{(3 + 3)(\sqrt{3 + 1} + 2)} = \frac{1}{6 \cdot 4} = \frac{1}{24} \]

Задание е) \[ \lim_{x \to \infty} \left(\frac{2 + x}{3 + x}\right)^{x-1} \]

Для решения этого предела используем экспоненциальную форму и свойства логарифмов:

1. Пусть \( y = \left(\frac{2 + x}{3 + x}\right)^{x-1} \). Тогда возьмем логарифм от \(y\): \[ \ln y = (x - 1) \ln \left(\frac{2 + x}{3 + x}\right) \]
2. Рассмотрим предел выражения внутри логарифма: \[ \frac{2 + x}{3 + x} = \frac{x(1 + \frac{2}{x})}{x(1 + \frac{3}{x})} = \frac{1 + \frac{2}{x}}{1 + \frac{3}{x}} \to 1 \text{ при } x \to \infty \]
3. Однако, чтобы определить поведение \( (x - 1) \ln \left(\frac{2 + x}{3 + x}\right) \), разложим логарифм в ряд Тейлора: \[ \ln \left(\frac{2 + x}{3 + x}\right) \approx \ln \left(1 - \frac{1}{x+3}\right) \approx -\frac{1}{x+3} \]
4. Теперь предел принимает вид: \[ \lim_{x \to \infty} (x - 1) \left( -\frac{1}{x+3} \right) = \lim_{x \to инфинити} \left( -\frac{x - 1}{x + 3} \right) = \lim_{x \to \infty} \left( -1 + \frac{2}{x+3} \right) = -1 \]
5. То есть, \( \ln y \to -1 \), следовательно \( y \to e^{-1} = \frac{1}{e} \). Таким образом, предел равен \( \frac{1}{e} \).

Итоговые ответы:

• б) \( 0 \)
• г) \( \frac{1}{24} \)
• е) \( \frac{1}{e} \)