Найти пределы функций не пользуясь правилом лопитали

Предмет: Математика

Раздел: Математический анализ (Пределы функций)

Рассмотрим предел функции:

 \lim_{x \to \infty} \frac{4\sqrt{x^8} - 7 + x^3}{x - x\sqrt{x^5}}. 

Шаг 1. Упростим выражение

1. Заметим, что \sqrt{x^8} = x^4, так как x > 0.
2. В знаменателе x\sqrt{x^5} = x \cdot x^{5/2} = x^{7/2}.

Подставим эти упрощения в выражение:

 \lim_{x \to \infty} \frac{4x^4 - 7 + x^3}{x - x^{7/2}}. 

Шаг 2. Вынесем старшую степень в числителе и знаменателе

В числителе старшая степень — x^4, в знаменателе — x^{7/2}. Вынесем их:

Числитель:  4x^4 - 7 + x^3 = x^4 \left(4 - \frac{7}{x^4} + \frac{x^3}{x^4}\right) = x^4 \left(4 - \frac{7}{x^4} + \frac{1}{x}\right). 

Знаменатель:  x - x^{7/2} = x^{7/2} \left(\frac{1}{x^{3/2}} - 1\right). 

Теперь предел принимает вид:  \lim_{x \to \infty} \frac{x^4 \left(4 - \frac{7}{x^4} + \frac{1}{x}\right)}{x^{7/2} \left(\frac{1}{x^{3/2}} - 1\right)}. 

Шаг 3. Упростим дробь

Сократим x^4 в числителе и x^{7/2} в знаменателе. Напомним, что x^4 / x^{7/2} = x^{1/2}. Тогда:

 \lim_{x \to \infty} x^{1/2} \cdot \frac{4 - \frac{7}{x^4} + \frac{1}{x}}{\frac{1}{x^{3/2}} - 1}. 

Шаг 4. Исследуем поведение дроби при x \to \infty

1. В числителе:
   • \frac{7}{x^4} \to 0, \frac{1}{x} \to 0.
     Следовательно, числитель стремится к 4.
2. В знаменателе:
   • \frac{1}{x^{3/2}} \to 0.
     Следовательно, знаменатель стремится к -1.

Итак, предел принимает вид:  \lim_{x \to \infty} x^{1/2} \cdot \frac{4}{-1} = -4x^{1/2}. 

Шаг 5. Вывод

При x \to \infty предел функции не существует в конечном виде, так как он стремится к -\infty.