Найти предельный абсолютной погрешности дельте F

Определение предмета и раздела предмета:

• Предмет: Математика/Физика.
• Раздел: Теория погрешностей (математический анализ) или анализ погрешностей измерений в физике.

Решение задания:

Формула для оценки функции \( F \) дана как: \[ F = \sqrt{B \times A} \times \sqrt{B^2 + C^2} \]

Для вычисления предельной абсолютной погрешности, необходимо использовать метод дифференциального исчисления. Предельная абсолютная погрешность вычисляется с использованием частных производных функции по каждому аргументу. Давайте обозначим \( G = \sqrt{B \times A} \) и \( H = \sqrt{B^2 + C^2} \). Тогда функция \( F \) можно выразить как: \[ F = G \times H \]

Теперь найдем производные \( G \) и \( H \) по \( A \), \( B \) и \( C \). Для функции \( G \) рассмотрим следующую производную: \[ \frac{\partial G}{\partial A} = \frac{1}{2} (B \times A)^{-1/2} \times B = \frac{B}{2\sqrt{B \times A}} \] \[ \frac{\partial G}{\partial B} = \frac{1}{2} (B \times A)^{-1/2} \times A = \frac{A}{2\sqrt{B \times A}} \]

Для функции \( H \): \[ \frac{\partial H}{\partial B} = \frac{1}{2} (B^2 + C^2)^{-1/2} \times 2B = \frac{B}{\sqrt{B^2 + C^2}} \] \[ \frac{\partial H}{\partial C} = \frac{1}{2} (B^2 + C^2)^{-1/2} \times 2C = \frac{C}{\sqrt{B^2 + C^2}} \]

Теперь вычислим частные производные функции \( F = G \times H \): \[ \frac{\partial F}{\partial A} = \frac{\partial G}{\partial A} \times H = \frac{B}{2\sqrt{B \times A}} \times \sqrt{B^2 + C^2} \] \[ \frac{\partial F}{\partial B} = G \times \frac{\partial H}{\partial B} + \frac{\partial G}{\partial B} \times H = \sqrt{B \times A} \times \frac{B}{\sqrt{B^2 + C^2}} + \frac{A}{2\sqrt{B \times A}} \times \sqrt{B^2 + C^2} \] \[ \frac{\partial F}{\partial C} = G \times \frac{\partial H}{\partial C} = \sqrt{B \times A} \times \frac{C}{\sqrt{B^2 + C^2}} \]

Запишем формулу для полной предельной абсолютной погрешности \( \Delta F \): \[ \Delta F = \left| \frac{\partial F}{\partial A} \right| \Delta A + \left| \frac{\partial F}{\partial B} \right| \Delta B + \left| \frac{\partial F}{\partial C} \right| \Delta C \]

Заметим, что значения \( \Delta A \), \( \Delta B \), и \( \Delta C \) — это предельные абсолютные погрешности измерения величин \( A \), \( B \) и \( C \). Подставим найденные частные производные: \[ \Delta F = \left| \frac{B}{2\sqrt{B \times A}} \times \sqrt{B^2 + C^2} \right| \Delta A + \left| \sqrt{B \times A} \times \frac{B}{\sqrt{B^2 + C^2}} + \frac{A}{2\sqrt{B \times A}} \times \sqrt{B^2 + C^2} \right| \Delta B + \left| \sqrt{B \times A} \times \frac{C}{\sqrt{B^2 + C^2}} \right| \Delta C \]

Таким образом, у нас есть выражение для оценки предельной абсолютной погрешности \( \Delta F \) исходя из погрешностей \( \Delta A \), \( \Delta B \) и \( \Delta C \). Чтобы получить численное значение \( \Delta F \), необходимо подставить конкретные значения для \( A \), \( B \), \( C \) и их погрешности \( \Delta A \), \( \Delta B \), \( \Delta C \).