Найти предел выражения

Предмет: Математика

Раздел: Пределы функций (Математический анализ)

Задание: Найти предел выражения

\[ \lim_{x \to -0}\left( \frac{x+8}{3x+7} \right)^{\frac{1}{|x|}} \]

Решение:

Для решения данного задания нужно правильно интерпретировать поведение выражения при стремлении \( x \) к \( -0 \) (то есть к отрицательным значениям, близким к нулю). Разберем выражение по частям:

\[ \lim_{x \to -0}\left( \frac{x+8}{3x+7} \right)^{\frac{1}{|x|}} \]

1. Рассмотрим дробь \(\frac{x+8}{3x+7}\) при \(x \to -0\):

• Если \(x \to -0\), то \(x\) — это отрицательное число, которое близко к нулю, например, \( -0.001 \).
• При этом знаменатель \(3x + 7 \approx 7\), ведь \(3x\) стремится к 0.
• Числитель \(x + 8 \approx 8\), потому что \(x\) тоже стремится к 0.

Таким образом, при \(x \to -0\):

\[ \frac{x+8}{3x+7} \to \frac{8}{7} \]

2. Рассмотрим показатель степени \( \frac{1}{|x|} \):

При \(x \to -0\), абсолютное значение \( |x| \) равно \( -x \), так как \( x \) отрицательно, значит \( |x| = -x \), и \( |x| \to 0^+ \).

Таким образом, \( \frac{1}{|x|} \to \infty \) при \( x \to -0 \), так как \( |x| \) становится все меньше и меньше.

3. Итоговая экспонента:

У нас получилось выражение:

\[ \left( \frac{8}{7} \right)^{\frac{1}{|x|}} \]

Так как \( \frac{8}{7} > 1 \) и степень стремится к бесконечности, то:

\[ \left( \frac{8}{7} \right)^{\infty} \to \infty \]

Ответ:

\[ \lim_{x \to -0}\left( \frac{x+8}{3x+7} \right)^{\frac{1}{|x|}} = \infty \]