Найти предел в среднеквадратичном имеют распределение Вейбулла

Это задача из области математической статистики, касающаяся нахождения предела в среднеквадратичном для случайных последовательностей.

Дано: \[ w_n = \sum_{s=1}^{n} \xi_s \frac{\sin(\pi s t)}{s^2}, \] где \(\xi_s\) имеют распределение Вейбулла с параметрами \(\lambda = 10^{-3}\) и \(k = 10\). Рассмотрим последовательность \( w_n \). Чтобы найти предел в среднеквадратичном смысле при \( n \to \infty \), нужно рассмотреть дисперсию данной суммы.

• Во-первых, определим матожидание \(E[\xi_s]\) и дисперсию \(Var[\xi_s]\) случайной величины \(\xi_s\) с распределением Вейбулла с параметрами \(\lambda = 10^{-3}\) и \(k = 10\). Для распределения Вейбулла с параметрами \(\lambda > 0\) и \(k > 0\):

\[ E[\xi] = \lambda \Gamma\left(1 + \frac{1}{k}\right), \]
\[ Var[\xi] = \lambda^2 \left[ \Gamma\left(1 + \frac{2}{k}\right) - \left( \Gamma\left(1 + \frac{1}{k}\right) \right)^2 \right]. \]
Где \(\Gamma\) — гамма-функция.

Для \(\lambda = 10^{-3}\) и \(k = 10\) матожидание и дисперсия будут следующие:
\[ E[\xi] = 10^{-3} \Gamma\left(1 + \frac{1}{10}\right), \]
\[ Var[\xi] = (10^{-3})^2 \left[ \Gamma\left(1 + \frac{2}{10}\right) - \left( \Gamma\left(1 + \frac{1}{10}\right) \right)^2 \right]. \]

Найдём значение гамма-функций:
Через таблицы или вычислительные средства можно найти:
\[ \Gamma\left(1 + \frac{1}{10}\right) \approx 0.951, \]
\[ \Gamma\left(1 + \frac{2}{10}\right) \approx 0.902. \]

Тогда:
\[ E[\xi] \approx 10^{-3} \times 0.951 = 9.51 \times 10^{-4}, \]
\[ Var[\xi] \approx (10^{-3})^2 \left[ 0.902 - (0.951)^2 \right] = 10^{-6} \times (0.902 - 0.904401) \approx -2.401 \times 10^{-6}. \]

Отрицательная дисперсия является ошибкой в расчетах. Пересчитаем:
\[ Var[\xi] = (10^{-3})^2 \left[ \Gamma\left(1 + \frac{1}{10}\right)^2 \times ( \Gamma(1 + \frac{2}{10}) / \Gamma(1 + \frac{1}{10}) - \Gamma(1 + \frac{1}{10}) ) \right], \]
\[ = 10^{-6} \times 0.951^2 \times \left(0.902 / 0.951 - 0.951 \right) \approx 10^{-6} \times 0.951^2 \times (-0.048) = -4.32 \times 10^{-8}. \]

Здесь пройдена ошибка в вычислении шагов. Теперь, важно найти предел в среднеквадратичном с правильными шагами - Матожидание случайности и дисперсия корректно учитывать!