Найти предел указанной функции

Для начала давайте определим предмет и раздел, к которому относится данное задание.

Предмет: Математика

Раздел: Математический анализ, тема "Пределы функций, исследование поведения функций при стремлении переменной к бесконечности".

Теперь разберёмся с заданием. Вам нужно найти предел указанной функции $\text{(}\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1+2x+4x^2}{x^3-3x^2+7}\text{)}$, причём без использования правила Лопиталя.

Выполним это пошагово:

Решение:

1. Рассмотрим поведение числителя и знаменателя при $\text{(}x\to \mathrm{\infty }\text{)}$.

   • В числителе: $\text{(}1+2x+4x^2\text{)}$. Здесь главный (старший) член — $\text{(}4x^2\text{)}$, так как $\text{(}{x}^2\text{)}$ растёт быстрее, чем $\text{(}x\text{)}$ или константа $\text{(}1\text{)}$.

   • В знаменателе: $\text{(}{x}^3-3x^2+7\text{)}$. Здесь главный (старший) член — $\text{(}{x}^3\text{)}$, так как $\text{(}{x}^3\text{)}$ растёт быстрее, чем $\text{(}{x}^2\text{)}$ или константа $\text{(}7\text{)}$.

2. Чтобы вычислить предел, удобно разделить числитель и знаменатель на главный член знаменателя — $\text{(}{x}^3\text{)}$. Это позволяет упростить выражение и выявить асимптотическое поведение функции при $\text{(}x\to \mathrm{\infty }\text{)}$.

   $\text{[}\frac{1+2x+4x^2}{x^3-3x^2+7}=\frac{\frac{1}{x^3}+\frac{2x}{x^3}+\frac{4x^2}{x^3}}{\frac{x^3}{x^3}-\frac{3x^2}{x^3}+\frac{7}{x^3}}\text{]}$

   • В числителе: $\text{[}\frac{1}{x^3}+\frac{2}{x^2}+\frac{4}{x}\text{]}$
   • В знаменателе: $\text{[}1-\frac{3}{x}+\frac{7}{x^3}\text{]}$

3. Запишем упрощённое выражение и найдём предел. Когда $\text{(}x\to \mathrm{\infty }\text{)}$, члены $\text{(}\frac{1}{x^3}\text{)}$, $\text{(}\frac{2}{x^2}\text{)}$, $\text{(}\frac{4}{x}\text{)}$, $\text{(}\frac{3}{x}\text{)}$, $\text{(}\frac{7}{x^3}\text{)}$ стремятся к $\text{(}0\text{)}$. Значит, предел определяется главным членом в числителе ( $\text{(}4x^2\text{)}$) и главным членом в знаменателе ( $\text{(}{x}^3\text{)}$):

   $\text{[}\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1+2x+4x^2}{x^3-3x^2+7}=\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{\frac{4}{x}}{1}=0.\text{]}$

Приведём каждое слагаемое к простому виду: