Найти предел указанной функции

Для начала давайте определим предмет и раздел, к которому относится данное задание.

Предмет: Математика

Раздел: Математический анализ, тема "Пределы функций, исследование поведения функций при стремлении переменной к бесконечности".

Теперь разберёмся с заданием. Вам нужно найти предел указанной функции \( \lim_{x \to \infty} \frac{1 + 2x + 4x^2}{x^3 - 3x^2 + 7} \), причём без использования правила Лопиталя.

Выполним это пошагово:

Решение:

1. Рассмотрим поведение числителя и знаменателя при \( x \to \infty \).

   • В числителе: \( 1 + 2x + 4x^2 \). Здесь главный (старший) член — \( 4x^2 \), так как \( x^2 \) растёт быстрее, чем \( x \) или константа \( 1 \).

   • В знаменателе: \( x^3 - 3x^2 + 7 \). Здесь главный (старший) член — \( x^3 \), так как \( x^3 \) растёт быстрее, чем \( x^2 \) или константа \( 7 \).

2. Чтобы вычислить предел, удобно разделить числитель и знаменатель на главный член знаменателя — \( x^3 \). Это позволяет упростить выражение и выявить асимптотическое поведение функции при \( x \to \infty \).

   \[ \frac{1 + 2x + 4x^2}{x^3 - 3x^2 + 7} = \frac{\frac{1}{x^3} + \frac{2x}{x^3} + \frac{4x^2}{x^3}}{\frac{x^3}{x^3} - \frac{3x^2}{x^3} + \frac{7}{x^3}} \]

   • В числителе: \[ \frac{1}{x^3} + \frac{2}{x^2} + \frac{4}{x} \]
   • В знаменателе: \[ 1 - \frac{3}{x} + \frac{7}{x^3} \]

3. Запишем упрощённое выражение и найдём предел. Когда \( x \to \infty \), члены \( \frac{1}{x^3} \), \( \frac{2}{x^2} \), \( \frac{4}{x} \), \( \frac{3}{x} \), \( \frac{7}{x^3} \) стремятся к \( 0 \). Значит, предел определяется главным членом в числителе ( \( 4x^2 \)) и главным членом в знаменателе ( \( x^3 \)):

   \[ \lim_{x \to \infty} \frac{1 + 2x + 4x^2}{x^3 - 3x^2 + 7} = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{4}{x}}{1} = 0. \]

Приведём каждое слагаемое к простому виду: