Найти предел следующего выражения

Предмет: Математика

Раздел: Математический анализ (Пределы)

Нам нужно найти предел следующего выражения при x \to \infty:

 \lim_{x \to \infty} \frac{5x^2 + \sqrt{64x^4 + 8x^2 + 3}}{\sqrt{(19x^2 + 7x + 12\sqrt{3} - 84)^3}} 

Решение:

1. Разберем числитель: Числитель выражен как 5x^2 + \sqrt{64x^4 + 8x^2 + 3}.
   При x \to \infty, доминирующим членом подкоренного выражения будет 64x^4.
   Поэтому: \sqrt{64x^4 + 8x^2 + 3} \approx \sqrt{64x^4} = 8x^2 при больших x.

   Таким образом, числитель можно аппроксимировать:
   5x^2 + \sqrt{64x^4 + 8x^2 + 3} \approx 5x^2 + 8x^2 = 13x^2.

2. Разберем знаменатель: Знаменатель выражен как \sqrt{(19x^2 + 7x + 12\sqrt{3} - 84)^3}.
   При x \to \infty, доминирующим членом внутри скобок будет 19x^2.
   Поэтому: 19x^2 + 7x + 12\sqrt{3} - 84 \approx 19x^2.

   Следовательно: (19x^2 + 7x + 12\sqrt{3} - 84)^3 \approx (19x^2)^3 = 19^3 x^6,
   а корень из этого: \sqrt{(19x^2 + 7x + 12\sqrt{3} - 84)^3} \approx \sqrt{19^3 x^6} = 19^{3/2} x^3.

3. Объединяем числитель и знаменатель: Подставляем аппроксимации числителя и знаменателя в исходное выражение:  \lim_{x \to \infty} \frac{5x^2 + \sqrt{64x^4 + 8x^2 + 3}}{\sqrt{(19x^2 + 7x + 12\sqrt{3} - 84)^3}} \approx \lim_{x \to \infty} \frac{13x^2}{19^{3/2} x^3}. 

   Сокращаем x^2 и x^3: \frac{13x^2}{19^{3/2} x^3} = \frac{13}{19^{3/2} x}.

4. Предел при x \to \infty: При x \to \infty, дробь \frac{13}{19^{3/2} x} стремится к нулю, так как знаменатель растет неограниченно.

Ответ:

\lim_{x \to \infty} \frac{5x^2 + \sqrt{64x^4 + 8x^2 + 3}}{\sqrt{(19x^2 + 7x + 12\sqrt{3} - 84)^3}} = 0.