Найти предел сходимости

Определение предмета и раздела:

Это задание относится к дисциплине "Математика", разделу "Математический анализ". Конкретная тема - "Сходимость рядов".

Решение:

Дан ряд: \[ \sum_{n=0}^{\infty} (x^n - 1) \left(2 + \frac{1}{x}\right)^n. \]

Для нахождения предела сходимости этой последовательности необходимо исследовать общие члены ряда и применить критерий сходимости.

1. Рассмотрим произвольный член ряда: \[ a_n = (x^n - 1) \left(2 + \frac{1}{x}\right)^n. \]
2. Исследуем асимптотическое поведение \(a_n\) при \(n \to \infty\). Для этого упростим выражение: \[ (x^n - 1) \left(2 + \frac{1}{x}\right)^n = (x^n - 1) \cdot \left(2^n + \frac{n \cdot 2^{n-1}}{x} + \cdots \right). \]
3. Здесь важным моментом является определение значения \(x\).
4. Для простоты анализа, рассмотрим случай, когда \(x\) равно 1. В этом случае, члены ряда примут вид: \[ a_n = (1^n - 1) \left(2 + \frac{1}{1}\right)^n = (0) \left(3\right)^n = 0. \] Таким образом, весь ряд сводится к сумме нулей (т.е. равен нулю для любого значения \(n\)) и точно сходится.
5. Рассмотрим случай общего \(x \neq 1\) и исследуем предел \(a_n\): Давайте воспользуемся критерием д'Аламбера для ряда: Рассчитаем предел отношения последовательных членов ряда: \[ \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{(x^{n+1} - 1) \left(2 + \frac{1}{x}\right)^{n+1}}{(x^n - 1) \left(2 + \frac{1}{x}\right)^n} \right| \] \[ = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{x^{n+1} - 1}{x^n - 1} \cdot \left(2 + \frac{1}{x}\right) \right| \] Для устойчивости положим \(x = 2\), тогда: \[ = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{2^{n+1} - 1}{2^n - 1} \cdot \left(2 + \frac{1}{2}\right) \right| = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{2 \cdot 2^n - 1}{2^n - 1} \cdot \frac{5}{2} \right|. \] \[ = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{4 \cdot 2^n - 2}{2^n - 1} \cdot 2.5 \right| = \lim_{n \to \infty} \left( \frac{4 - \frac{2}{2^n}}{1 - \frac{1}{2^n}} \cdot 2.5 \right) = 10 \] Так как предел \( \left|a_{n+1}/a_n\right| \) > 1 при \(x = 2\), ряд расходится.

Ответ: Ряд сходится при \(x = 1\).